Especial de Sábado

Olá pessoal. Hoje temos a resolução da questão do ITA proposta no dia 21. Confira! 

Jogando Vôlei

ITA–SP
Prova de 2018, realizada no dia 12 /12/2017

Numa quadra de vôlei de 18,0 m de comprimento, com rede de 2,24 m de altura, uma atleta solitária faz um saque com a bola bem em cima da linha de fundo, a 3,0 m de altura, num ângulo θ de 15° com a horizontal, conforme a figura, com trajetória num plano perpendicular à rede.

Desprezando o atrito, pode-se dizer que, com 12 m/s de velocidade inicial, a bola:

a) bate na rede.
b) passa tangenciando a rede.
c) passa a rede e cai antes da linha de fundo.
d) passa a rede e cai na linha de fundo.
e) passa B rede e cai fora da quadra.

Resolução:

Movimento horizontal:

x = x₀ + v₀.cos15°.t => x = v₀.cos15°.t = t = x/v₀.cos15° (1)

Movimento vertical:

y = y₀ + v₀.sen15°.t - gt²/2 => y = 3,0 + v₀.sen15°.t - 5,0.t² (2)

(1) em (2):

y = 3,0 + v₀.sen15°.t - 5,0.t² =>
y = v₀.sen15°.x/v₀.cos15°-5,0.x²/v₀².(cos15°)²
y = 3,0+x.tg15°-5,0.x²/144.(cos15°)²

Cálculo de cos 15° e de tg 15°

cos15° = cos (45°-30°)
cos15° = cos45°.cos30° + sen45°.sen30°
cos15° = √2/2.√3/2 + √2/2.1/2
cos15° = (√6+√2)/4 = (√2/4)+√3+1

cos 15° ≅ 0,966 e cos²15° ≅ 0,93

tg15° = tg(45°-30°)
tg15° = (tg45°-tg30°)/1+tg45°.tg30° = (1-√3/3)/(1+1.√3/3)
tg15° = (3-√3)/3+√3) = 2-√3 =>

tg15° ≅ 0,27

Vamos calcular y para x = 9,0 m

y = 3,0+x.tg15°-5,0.x²/144.(cos15°) => y ≅ 3,0+9,0.0,27-(9,0)²/144.0,93 =>
y ≅ 3,0+2,43 -3,0 =>

y ≅ 2,43 m

Sendo y = 2,43 m > 2,24 m (que é a altura da rede), concluímos que a bola passa a rede.
Vamos agora verificar se a bola cai antes, depois ou em cima da linha de fundo.

Basta fazer y = 0 e achar x:

y = 3,0+x.tg15°-5,0.x²/144.(cos15°) => 0 = 3,0+0,27.x-5,0.x²/144.0,93 =>
3,0+0,27.x-5,0.x²/144.0,93 = 0 => 3,0+0,27.x-0,037x² = 0

+0,037.x² - 0,27.x - 3,0 = 0

√Δ = √[(-0,27)²-4.0,037.(-3,0)] => √Δ ≅ 0,72

x = (0,27±0,72)/2.0,037

x = (0,27+0,72)/2.0,037 => x ≅ 13,4 m

Sendo 13,4 m < 18,0 m, concluímos que a bola cai antes da linha de fundo.

Resposta: c