terça-feira, 11 de dezembro de 2018

Cursos do Blog - Termologia, Óptica e Ondas


39° aula - (última aula do 2º semestre)
Cordas vibrantes / Tubos sonoros

Borges e Nicolau

As cordas vibrantes

Ao percutirmos a corda tensa de um violão as ondas transversais produzidas refletem-se nas extremidades e superpõem-se ao longo da corda, formando ondas estacionárias. Com a vibração da corda, o ar em suas vizinhanças também vibra  originando ondas sonoras. A frequência do som emitido é igual à frequência de vibração da corda.

O modo  mais simples de a corda vibrar corresponde a um nó em cada extremidade  e entre eles um único ventre. É o chamado modo fundamental ou primeiro harmônico. Nesta situação a frequência de vibração é denominada frequência fundamental ou frequência do primeiro harmônico. Indicando por n o número de ventres, temos neste caso n = 1.


Sendo L ao comprimento da corda, obtemos:


Seja v a velocidade das ondas que se propagam na corda e que originam as ondas estacionárias. A frequência fundamental será: 


Obtemos o segundo modo de vibração acrescentando mais um nó e mais um ventre (total, dois ventres: n = 2). Temos assim o segundo harmônico.


Neste caso, temos:


A frequência do segundo harmônico será:


Para o harmônico de ordem n, isto é para n ventres, teremos:

 (n = 1, 2, 3, 4, 5...)
   
Recordando: Velocidade de propagação de uma onda transversal numa corda tensa

Considere uma corda de massa m e comprimento L e sob ação de uma  força de tração de intensidade F.
Densidade linear da corda é a grandeza μ definida pela relação entre a massa m da corda e o seu comprimento L:


A velocidade de propagação da onda na corda é dada por:


Os tubos sonoros

Os tubos sonoros podem ser abertos ou fechados


Pela embocadura o ar soprado adequadamente produz vibração no interior do tubo, a qual se propaga e se reflete nas extremidades originando a formação de ondas estacionárias.
A embocadura de um tubo sonoro é sempre um ventre. A outra extremidade é um ventre de vibração se o tubo for aberto e um nó se o tubo for fechado. Vamos analisar as duas situações: 

Tubo sonoro aberto

Seja n o número de nós. Para n = 1, temos o modo mais simples de vibração É o chamado modo fundamental ou primeiro harmônico. Corresponde a um ventre em cada extremidade  e entre eles um único nó. Nesta situação a frequência de vibração é denominada frequência fundamental ou frequência do primeiro harmônico.


Sendo L o comprimento do tubo:

Para n = 2 (dois nós entre as extremidades), temos o segundo harmônico.


Nesta situação:


A frequência do segundo harmônico será:


Para o harmônico de ordem n (n nós), teremos:

 (n = 1, 2, 3, 4...)

Tubo sonoro fechado

No tubo sonoro fechado temos sempre um ventre na embocadura e um nó na outra extremidade. Na figura representamos o modo mais simples de vibração, constituindo o modo fundamental ou primeiro harmônico.  Indicando por n o número de ventres que é igual ao número de nós, temos neste caso n = 1.


A frequência de vibração é a frequência fundamental ou frequência do primeiro harmônico.

Assim, temos:



O segundo modo de vibração do tubo sonoro fechado corresponde a n = 2: dois ventres e dois nós:

Adicionar legenda


A frequência desse segundo modo de vibração é igual ao triplo da frequência fundamental, tratando-se, portanto do terceiro harmônico. Assim, para n = 3 teremos o quinto harmônico (2 x 3 - 1); para n = 4, o sétimo harmônico
(2 x 4 - 1). Portanto, o tubo fechado só emite harmônicos de ordem ímpar.

Desse modo, para n nós ou n ventres temos o harmônico de ordem 2n - 1. Neste caso geral, podemos escrever:

        
n = 1 => 2n - 1 = 1
n = 2 => 2n - 1 = 3
n = 3 => 2n - 1 = 5
n = 4 => 2n - 1 = 7

Exercícios básicos

Exercício 1:
Ondas estacionárias são produzidas numa corda tensa. Sabendo–se que o primeiro harmônico corresponde à corda vibrando com um ventre (n = 1), o segundo harmônico corresponde à corda vibrando com dois ventres (n = 2), represente a corda vibrando no terceiro e no quarto harmônicos e calcule, em cada caso, a frequência de vibração da corda, em função de L e de v.

Resolução: clique aqui 

Exercício 2:
Uma corda de com 40 cm de comprimento e 10 gramas de massa, está tracionada por uma força de intensidade 360 N.
a) Qual é a velocidade das ondas que se propagam na corda e que produzem as ondas estacionárias? 
b) Qual a frequência fundamental emitida?

Resolução: clique aqui 

Exercício 3:
Ondas estacionárias são produzidas num tubo sonoro aberto. Sabendo–se que o primeiro harmônico corresponde ao tubo vibrando com um nó (n = 1), o segundo harmônico corresponde ao tubo vibrando com dois nós (n = 2), represente o tubo vibrando no terceiro harmônico (n = 3) e calcule a frequência de vibração do tubo, em função de L e de v.

Resolução: clique aqui 

Exercício 4:
Ondas estacionárias são produzidas num tubo sonoro fechado. Sabendo–se que o primeiro harmônico corresponde ao tubo vibrando com um nó e um ventre (n = 1), o terceiro harmônico corresponde ao tubo vibrando com dois nós e dois ventres
(n = 2), represente o tubo vibrando no quinto harmônico (n = 3) e calcule frequência de vibração do tubo, em função de L e de v.

Resolução: clique aqui 

Exercício 5:
Têm-se dois tubos sonoros, um aberto e outro fechado, que emitem a mesma frequência fundamental de 330 Hz. Sabendo-se que o som se propaga no ar com velocidade de 330 m/s, determine os comprimentos de cada tubo.

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Exercício 6:
Um tubo fechado tem comprimento igual a 50 cm. Ele emite um som de frequência fundamental igual a duas vezes a frequência fundamental do som emitido por um tubo aberto. Ambos são preenchido com ar. Qual é o comprimento do tubo aberto?

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1:
(UFMG)
Bruna afina a corda mi de seu violino, para que ela vibre com uma frequência mínima de 680 Hz.
A parte vibrante das cordas do violino de Bruna mede 35 cm de comprimento, como mostrado nesta figura:



Considerando essas informações,

a) CALCULE a velocidade de propagação de uma onda na corda mi desse violino.
b) Considere que a corda mi esteja vibrando com uma frequência de 680 Hz. DETERMINE o comprimento de onda, no ar, da onda sonora produzida por essa corda.

Velocidade do som no ar = 340 m/s

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Revisão/Ex 2:
(UFOP)
Assinale a alternativa incorreta.

A) A propagação do som é um fenômeno ondulatório longitudinal que só ocorre em um meio material como, por exemplo, um fluido.
B) Em uma corda vibrante, com as extremidades fixas, o maior comprimento de onda possível para uma onda estacionária é de duas vezes o comprimento da corda.
C) O quadrado da velocidade de propagação da onda em uma corda vibrante é inversamente proporcional à massa da corda.
D) Em um tubo sonoro, de comprimento L, fechado em uma das extremidades, o maior comprimento de onda λ possível para uma onda ressonante é de duas vezes o comprimento do tubo.

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Revisão/Ex 3:
(UECE)
Duas cordas, M e m, de um violão, estão vibrando em suas respectivas frequências fundamentais.
Sabendo-se que a frequência maior fM está uma oitava acima da frequência menor fm, e que a tensão aplicada às cordas é a mesma, a razão μmM entre as densidades lineares das cordas é

A) 2
B) 4
C) 8
D) 16

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Revisão/Ex 4:
(Olimpíada Brasileira de Física)
Um músico tem a terceira corda (a “corda Sol”) de seu violão partida. Como no momento ele não dispõe de outra equivalente para substituir, ele resolve então colocar em seu lugar uma segunda corda (a “corda Si”). Sabe-se que a frequência da nota Sol é igual a 4/5 da frequência da nota Si. Identifique a seguir a alternativa que indica por qual fator o músico deve multiplicar a tensão na “corda Si” para que, em vez da nota Si, ela emita a nota Sol como a sua frequência fundamental.

Considere que a densidade da “corda Si” não varia com a tensão.

a) 4/5            b) 16/25             c) 5/4            d) 25/16            e) 2 / 5

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Revisão/Ex 5:
(UFRJ)
O canal que vai do tímpano à entrada do ouvido pode ser considerado como um tubo cilíndrico de 2,5 cm de comprimento, fechado numa extremidade e aberto na outra. Considere a velocidade do som no ar igual a 340 m/s. Calcule a frequência fundamental de vibração da coluna de ar contida nesse canal.

Resolução: clique aqui 
b
Desafio:
 
Dois tubos fechados de um órgão apresentam comprimentos 2,00 m e 2,60 m. Outros dois tubos abertos têm comprimentos 0,65 m e 1,30 m. A velocidade do som no ar é de 338 m/s. Um dos tubos citados deveria ter como frequência fundamental 130 Hz. Entretanto o som fundamental que ele emite é de 65 Hz. Pretende-se reparar o citado tubo e foram consultados alunos do 2º ano do ensino médio que acabaram de estudar Ondas Sonoras.

Esses alunos formularam as hipóteses:

1ª) O tubo de 2,60 m está aberto, isto é, arrebentado na extremidade
2ª) O tubo de 2,00 m está aberto, isto é, arrebentado na extremidade
3ª) O tubo de 0,65 m está fechado, isto é, entupido numa extremidade
4ª) O tubo de 1,30 m está fechado, isto é, entupido numa extremidade

Qual ou quais hipóteses são corretas?


A resolução será publicada na próxima terça-feira

Resolução do desafio anterior:


Quantas vezes maior é a intensidade dos sons produzidos em concertos de rock (110xdB) quando comparada com a intensidade do som produzido por uma buzina de automóvel (90 dB)?

Resolução:

NS = 10.log (I/I0)
110 = 10.log (Irock/I0) => Irock/I0 = 1011 (1)  
90 = 10.log (Ibuzina/I0) => Ibuzina/I0 = 109 (2)

(1)/(2): Irock/Ibuzina = 1011/109 => Irock/Ibuzina = 100

A intensidade dos sons produzidos em um concerto de rock (110 dB) é 100 vezes a intensidade do som produzido pela buzina de um automóvel (90 dB).

Resposta: 100 vezes

segunda-feira, 10 de dezembro de 2018

Cursos do Blog - Mecânica


39° aula - (última aula do 2º semestre)
Equilíbrio Estático de um corpo extenso

Borges e Nicolau

Uma barra homogênea de comprimento 4 m e de peso P = 12 N está apoiada nos pontos A e B, conforme a figura.


Vamos determinar as intensidades das forças FA e FB que os apoios exercem na barra. Na figura, a seguir, estãoBrepresentadas as forças que agem na barra. Note que o peso P está aplicado no centro geométrico da barra poisBela é homogênea.


Podemos impor que a força resultante é nula, ou seja:

FA + FB = P => FA + FB = 12 (1)

A condição força resultante nula deve ser imposta para que a barra não sofra translação. Entretanto, a barra pode girar. Tome, por exemplo, o ponto de apoio B como referência. A força FA tende a girar a barra em torno de B, no sentido horário e o peso P tende a girar a barra em torno de B, no sentido anti-horário.


A grandeza que mede a eficiência de uma força em produzir rotação chama-se momento e é dada pelo produto da intensidade da força pela distância do ponto considerado (no caso o ponto B) até a linha de ação da força. Para que a barra não gire impomos que o momento de FA em torno de B (no sentido horário) deve ser igual ao momento de P em torno de B (no sentido anti-horário).

MFA = MP => FA.dA = P.d => FA.3 = 12.1 => FA = 4 N.
De (1) resulta: FB = 8 N

Resumindo: para o equilíbrio de um corpo extenso devemos impor:

1º) Equilíbrio de Translação: 
Força resultante nula. Esta condição é imposta considerando a soma das intensidades das forças para cima igual à soma das  intensidades das forças para baixo. E a soma das intensidades das forças para a direita igual à soma das intensidades das forças para a esquerda. 

2º) Equilíbrio de rotação: 
Neste caso, escolhemos um ponto e impomos que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário.

Animação:
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Exercícios básicos
 

Exercício 1:
a) Calcule o momento da força F de intensidade 10 N, em relação ao ponto A?
b) Explique por que o momento da força fA aplicada no ponto A, em relação a esse ponto, é nulo.


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Exercício 2:
Na figura uma barra homogênea apoiada num ponto A e presa pelo ponto B ao teto por um fio ideal, está em equilíbrio na posição horizontal. A barra tem peso P = 90 N.
a) Represente as forças que agem na barra.
b) Calcule as intensidades da força de apoio e da força de tração no fio.


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Exercício 3:
Uma gangorra tem braços desiguais. No extremo A está sentado João de peso 500 N. Qual é o peso de Maria sentada no extremo B, para que a gangorra fique em equilíbrio na posição horizontal? Considere a gangorra articulada no ponto O e de peso desprezível.


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Exercício 4:
A barra homogênea da figura tem peso P = 120 N. A polia é ideal. Determine o peso do bloco e a intensidade da força que o apoio A exerce na barra, estando o sistema em equilíbrio.


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Exercício 5:
A barra homogênea de peso P = 30 N estáAarticulada no ponto A. O fio DC é ideal e forma com a barra, naAposição horizontal, um ângulo de 30º. O bloco tem peso PBx=x10 N. Sendo sen 30º = 1/2 e cos 30º = 3/2, determine a intensidadeAda força de tração no fio e as componentes XA e YA da força que a articulação exerce na barra.


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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1:
(PUC-MG)
Uma haste, com massa uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento, encontra-se em equilíbrio, na horizontal, apoiada no ponto P, tendo duas massas M e M’ nas suas extremidades, conforme a figura abaixo.
Nessas condições, é CORRETO afirmar:


a) M’ < M
b) M’ = M
c) M < M’ < 2M
d) M’ > 2M

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Revisão/Ex 2:
(UFSM-RGS)
A figura representa uma barra homogênea em equilíbrio horizontal, de massa m e comprimento L, estando uma das extremidades articulada a uma parede. Na extremidade oposta, está suspenso um corpo de massa M, estando essa barra sustentada em sua metade por uma mola de constante elástica K. Nessa situação, a mola está distendida de:



a) (M/K).g
b) (2M/K).g
c) [(M+m)/K].g
d) [(2M+m)/K].g

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Revisão/Ex 3:
(Mackenzie-SP)
A figura mostra um móbile constituído por duas barras de massas desprezíveis que sustentam os corpos A, B e C por fios ideais. Sendo a massa do corpo A 45 g, a massa do corpo C, que mantém o conjunto em equilíbrio na posição indicada, deve ser igual a:



a) 10 g.
b) 20 g.
c) 30 g.
d) 40 g.
e) 50 g.

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Revisão/Ex 4:
(PUC-MG)
Na figura desta questão, um jovem de peso igual a 600 N corre por uma prancha homogênea, apoiada em A e articulada no apoio B. A prancha tem o peso de 900 N e mede 9,0 m. Ela não está presa em A e pode girar em torno de B. A máxima distância que o jovem pode percorrer, medida a partir de B, sem que a prancha gire, é:


a) 1,75 m.
b) 2,00 m.
c) 2,25 m.
d) 2,50 m.

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Revisão/Ex 5:
PUC-MG
Uma placa de publicidade, para ser colocada em local visível, foi afixada com uma barra homogênea e rígida e um fino cabo de aço à parede de um edifício, conforme ilustração.



Considerando-se a gravidade como 10 m/s2, o peso da placa como 200 N, o comprimento da barra como 8 m, sua massa como 10 kg, a distância AC como 6 m e as demais massas desprezíveis, pode-se afirmar que a  força de tração sobre o cabo de aço tem intensidade:

a) 417 N
b) 870 N
c) 300 N
d) 1200 N

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n
Desafio:

Uma barra homogêna AB de peso P = 2,0.103 N está em equilíbrio, na posição indicada na figura, devido ao cabo ideal BO e ao atrito entre AB e o solo. 


São dados:
AB = 6,0 m
sen 60° = 0,87
cos 60° = 0,50
sen 45° = cos 45° = 0,71

Determine:


a) o coeficiente de atrito mínimo entre a barra e o solo.
b) a intensidade da força de tração T no cabo BO.


A resolução será publicada na próxima segunda-feira.

Resolução do desafio anterior:

O sistema da figura está em equilíbrio. Os fios são ideais. Determine as intensidades da forças de tração nos fios. O peso do bloco é P = 48 N.
Dados: sen 37° = 0,60 e sen 53° = 0,80.



Resolução:



 
T2.cos 53° = T1.cos 37°
T2.0,60 = T1.0,80 (1)

T1.sen 37° + T2.sen 53° = T3
T1.0,60 + T2.0,80 = 48 (2)

De (1): T2 = (0,80/0,60).T1

Em (2)

T1.0,60+(0,80/0,60).T1.0,80 = 48
T1.[0,60+(0,64/0,60)] = 48
T1.(0,36+0,64)/0,60 = 48

T1 = 28,8 N

De (3):

T2 = 38,4 N