segunda-feira, 7 de fevereiro de 2011

Preparando-se para as provas

Calculando velocidade e aceleração escalares por derivada

Borges e Nicolau
A velocidade escalar média é dada por:


Para determinarmos a velocidade escalar instantânea na posição cujo espaço é s1, podemos escolher s2 cada vez mais próximo de s1 e calcular os quocientes Δs/Δt.

À medida que s2 fica mais próximo de s1, diminui a variação de espaço
Δs = s2 – s1, assim como o intervalo de tempo Δt = t2 – t1.


Quando t2 tende a t1, isto é, Δt tende a zero, a variação de espaço
Δs = s2 – s1 também tende a zero. Porém o quociente Δs/Δt não é necessariamente pequeno, assumindo um determinado valor limite. Esse valor limite é a velocidade escalar instantânea na posição cujo espaço é s1, ou seja, é a velocidade escalar no instante t1. Assim:


A velocidade escalar num instante t  é o valor limite a que tende Δs/Δt, quando Δt tende a zero. Representa-se por:


O limite de Δs/Δt  quando Δt tende a zero recebe o nome de derivada do espaço em relação ao tempo e indica-se por ds/dt. Portanto,

v = ds/dt.
A derivada em relação ao tempo de s = m.tn é v = n.m.tn-1, isto é, a partir de sx=xm.tn obtemos diretamente v por meio da seguinte regra: multiplica-se o expoente n pelo coeficiente m de tn e subtrai-se uma unidade do expoente n.

A derivada de s = constante é v = 0. Portanto, a derivada de uma constante é nula.

Por exemplo, considere a função horária dos espaços de um móvel:

s = 4 + 5.t + 3. t2 (SI)

Vamos derivar e obter a função horária da velocidade escalar:
v = 0 + 1.5.t1-1 + 2.3.t2-1
v = 5 + 6t (SI)

A aceleração escalar α num certo instante é a derivada da velocidade escalar:

α = dv/dt

No exemplo anterior, temos v = 5 + 6t (SI). Portanto, por derivada obtemos:
α = o + 1.6.t1-1

α = 6 m/s2

Exercícios básicos

Exercício 1
Dada a função horária dos espaços de um móvel, em unidades do SI, obtenha as funções horárias da velocidade escalar e da aceleração escalar, nos casos:

a) s = 5 + 4t4 + 2t3  - 7t2  + 10t

b) s = 12.t3

c) s = -6 + 4t + 2t2

d) s = 5 + 4t

Exercício 2
O espaço de um móvel varia com o tempo segundo a função:
s = 5 + 2t2 (SI). Determine a velocidade escalar e a aceleração escalar do móvel no instante t = 1s.

Exercício 3
O espaço de um móvel varia com o tempo segundo a função:
s = 5 + 6t - (5/2)t2 + (1/3)t3 (SI). Em que instantes a velocidade escalar se anula?

13 comentários:

  1. Eu simplesmente não entendia nada... Faço cursinho a um tempo e não entendia isso...
    Muito obrigado!

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  2. amei a explicação... tava aqui quebrando a cabeça, mas depois de ver seu blog entendi tudo!! parabéns.

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  3. estudo engenharia achei estas funções muito complicado, depois de ver essas explicaçòes consegui entender, muito obrigado por esses exemplos.

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  7. Essas coisas não entram na minha cabeça... continuo boiando!
    Não é possível, 3 anos estudando essa porra de física e o que eu sei? N.A.D.A
    Pior que preciso dela pro vestibular...

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  8. Olá professor Nicolau, tenho uma duvida meio complicada.
    Quando temos a primeira derivada da função do espaço, é a velocidade, o problema é, caso o objeto tenha uma parte de velocidade negativa e vá pra positiva, em um instante ele vai parar e depois voltar, no caso ele vai mudar de sentido.
    mais na terceira derivada a aceleração será constante. se a aceleração for constante como ele pode parar para mudar o sentido?
    e como fica o gráfico da aceleração?
    obrigado!

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  9. O espaço de um móvel varia com o tempo segundo a função:
    s = 5 + 2t2 (SI). Determine a velocidade escalar e a aceleração escalar do móvel no instante t = 1s.
    resposta:
    V= d(s)/d(t)
    =d( 5+2t²)/dt
    =d(o+5.2.t0/dt
    =d(4t).

    velocidade: t=1s
    V=4t
    V= 4.1= 4m/s.

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  10. E o processo iverso. Encotrar o espaço a partir da velocidade. Principalmente quado se tem expoente cúbico em diante.

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