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quinta-feira, 8 de novembro de 2012

Caiu no vestibular

Vindos do espaço sideral

(FUVEST)
Alienígenas desejam observar o nosso planeta. Para tanto, enviam à Terra uma nave N, inicialmente ligada a uma nave auxiliar A, ambas de mesma massa. Quando o conjunto de naves se encontra muito distante da Terra, sua energia cinética e sua energia potencial gravitacional são muito pequenas, de forma que a energia mecânica total do conjunto pode ser considerada nula. Enquanto o conjunto é acelerado pelo campo gravitacional da Terra, sua energia cinética aumenta e sua energia potencial fica cada vez mais negativa, conservando a energia total nula. Quando o conjunto N-A atinge, com velocidade V0 (a ser determinada), o ponto P de máxima aproximação da Terra, a uma distância R
0 de seu centro, um explosivo é acionado, separando N de A. A nave N passa a percorrer, em torno da Terra, uma órbita circular de raio R0, com velocidade VN (a ser determinada). A nave auxiliar A, adquire uma velocidade VA (a ser determinada). Suponha que a Terra esteja isolada no espaço e em repouso.



Determine, em função de M, G e R0,
 

a) a velocidade V0 com que o conjunto atinge o ponto P.
b) a velocidade
VN, de N, em sua órbita circular.
c) a velocidade
VA, de A, logo após se separar de N.
 

Note/Adote

1) A força de atração gravitacional F entre um corpo de massa m e o planeta Terra, de massa M, é dada por: F = GMm/R2 = mgR.

2) A energia potencial gravitacional Ep do istema formado pelo corpo e pelo planeta Terra, com referencial de potencial zero no infinito, é dada por: Ep = -GMm/R.

G: constante universal da gravitação.
R: distância do corpo ao centro da Terra.
gR: aceleração da gravidade à distância R do centro da Terra.
 

Resolução:

a) Seja m a massa de cada nave. Vamos aplicar a conservação da energia total:
Energia total das naves num ponto bem distante da Terra = Energia total em P


O = -GM2m/
R0 + 2m.(V0)2/2 => V0 = (2GM/R0)1/2
 

b) No movimento da nave N, em torno da Terra, numa órbita circular de raio R0, com velocidade VN, a força de atração gravitacional é a resultante centrípeta:
 

FG = Fcp => GMm/(R0)2 = m.(VN)2/R0 => VN = (GM/R0)1/2
 

c) Conservação da quantidade de movimento imediatamente antes e imediatamente após a explosão:
 

2m.V0 = m.VN + m.VA => VA = 2V0VN =>
VA = 2.(2GM/R0)1/2 - (GM/R0)1/2 => 
VA = (8GM/R0)1/2 - (GM/R0)1/2 => 
VA = (GM/R0)1/2.(8-1)

Respostas:
a)
V0 = (2GM/R0)1/2 

b) VN = (GM/R0)1/2 
c) VA = (GM/R0)1/2.(√8-1)
xxxxx 

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