Respostas de Preparando-se para as provas

Vetores

Borges e Nicolau

Exercício básicos

Notação vetorial em negrito.

Exercício 1

São dados os vetores a e b. Represente o vetor s soma dos vetores a e b. Analise os casos:

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Resolução:

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Exercício 2

Retome o exercício anterior e considere que os módulos dos vetores a e b sejam iguais a 10 unidades (10u). Calcule em cada caso o módulo do vetor soma s.

Respostas:

a) s = 10√2u

b) s = 10√2u

c) s = 10√3u

d) s = 10u

Exercício 3

Considere o diagrama dos vetores a, b e c, esquematizado abaixo.

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É possivel concluir que:

a) a + b + c = 0

b) a + b = c

c) a + c = b

d) b + c = a

Resposta: b

Exercício 4

Considere o diagrama dos vetores a, b e c, esquematizado abaixo.

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É possivel concluir que:

a) a + b + c = 0

b) a + b = c
c) a + c = b
d) b + c = a

Resposta: a

Exercício 5
Represente o vetor  s = a + b e o vetor d = a - b. Calcule a seguir seus módulos. Cada lado do quadradinho tem medida igual a u.

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Resolução:

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a) s = 5u

b) d = 5u

Exercício 6

Seis vetores estão representados no diagrama abaixo. Cada lado do quadradinho tem medida igual a u. Qual é o módulo do vetor soma dos seis vetores dados?

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Resposta: s = 12u

Exercício 7

É dado o vetor v. Represente os vetores 2v e -v

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Resolução:

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Exercício 8

No diagrama i e j são vetores de módulos unitários. Determine as expressões dos vetores a, b e c em função de i e j.

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Respostas:

a = 3j

b = 2i

c = 3i + 3j

Exercício 9

Seu Joaquim empurra um carrinho, por meio de uma barra de ferro, aplicando uma força F, de módulo F = 100 N, na direção da barra. Qual é o módulo da componente  da força F na direção perpendicular ao solo?

Dados: sen θ = 0,6; cos θ = 0,8.

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Resposta:

A componente de F perpendicular ao solo (Fv) é igual a F. sen θ, ou

100. 0,6. Fv = 60N

Vestibulares

Questões para as segundas fases

Borges e Nicolau

Questão1

Gerador ligado a resistor
Um gerador de força eletromotriz E e resistência interna r é ligado a um resistor de resistência elétrica R, conforme indica a figura a. Na figura b estão representadas as curvas características desses elementos.

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a) Determine os valores de E, r, R.
b) O que representam as coordenadas do ponto P, interseção das retas?
c) Quais são as coordenadas de P?

Questão 2

Aquecendo o gelo
Um recipiente metálico contém um bloco de gelo. O conjunto está inicialmente a –2 ºC e é aquecido até +2 ºC.
No aquecimento de –2 ºC até –1 ºC o conjunto recebe a quantidade de calor igual a 1200 cal e de –1 ºC até +2 ºC, 165600 cal. Determine:

a) a capacidade térmica do recipiente;
b) a massa de gelo.

Dados:xcalor específico sensível do gelo: 0,5 cal/g.ºC
xxxxxxx calor específico sensível da água: 1 cal/g.ºC
xxxxxxx calor latente de fusão do gelo: 80 cal/g

Despreze as perdas de calor para o ambiente e considere que o gelo está sob pressão normal.

Questão 3

Associação de lentes
Um objeto retilíneo (o) é colocado a 10 cm de uma lente delgada convergente (L1) de distância focal f1=8cm. A 60 cm da imagem conjugada por L1, dispõe –se outra lente delgada convergente (L2), de distância focal f2=12 cm, conforme mostra a figura.

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a) Qual é a distância entre as lentes?
b) Sendo de 2 cm a altura do objeto (o) , qual é a altura da imagem final conjugada pela lente L2?

Considere válidas as condições de Gauss.

Questão 4

Conservação da energia e da quantidade de movimento
Um pequeno bloco A de massa m desloca-se com velocidade v ao longo de um plano horizontal, sem atrito. O bloco A sobe a rampa existente num bloco B, de massa M = 3 m, inicialmente em repouso e que pode se mover sem atrito sobre o plano horizontal. No instante em que o bloco A atinge a altura máxima H, a velocidade adquirida pelo bloco B é de
1 m/s. Despreze a resistência do ar, o atrito entre A e B e adote
g = 10 m/s².
Determine:

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a) a velocidade v;
b) a altura H.

Questão 5

Ondas circulares
Na superfície da água de um tanque são produzidas ondas circulares por meio de uma haste cuja extremidade está em contato com a água. A haste executa um movimento harmônico simples (MHS ) de frequência
f = 0,25 Hz.

a) Qual é a velocidade de propagação da onda, sabendo-se que distância entre duas frentes de onda adjacentes é de 4 cm?
b) Aumentando-se somente a amplitude de vibração da haste, analise o que ocorre com a velocidade de propagação, a frequência e o comprimento de onda das ondas circulares que se propagam na água.

Leituras do Blog

Equilíbrio de corpos flutuantes

Borges e Nicolau
Quando um corpo está flutuando num líquido, ele está sujeito à ação de duas forças de mesma intensidade, mesma direção (vertical) e sentidos opostos: a força peso P e o empuxo E. Os pontos de aplicação dessas forças são, respectivamente, o centro de gravidade do corpo G e o centro de empuxo C, que corresponde ao centro de gravidade do líquido deslocado.

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Quando o centro de gravidade G está abaixo do centro de empuxo C, o equilíbrio é estável. Observe que, se o corpo é deslocado de sua posição inicial, o sistema de forças constituído por E e P, obriga-o a retornar a ela. (Figura I)

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Se o centro de gravidade G coincide com o centro de empuxo C, situação mais comum quando o corpo está totalmente mergulhado, o equilíbrio é indiferente, isto é, o corpo permanece na posição em que for colocado. (Figura II)

Quando o centro de gravidade G estiver acima do centro de empuxo C, o equilíbrio poderá ser estável ou instável. Isto vai depender de como se desloca o centro de empuxo em virtude da mudança na forma do volume de líquido deslocado.

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Observe que no caso esquematizado na figura IIIa, ao deslocar-se o corpo da posição inicial o centro de empuxo muda, de modo a fazer com que o sistema de forças obrigue o corpo a retornar para onde estava: o equilíbrio é estável.

Já no caso da figura IIIb, ao deslocar-se o corpo de sua posição inicial, o deslocamento do centro de empuxo faz com que o sistema de forças continue o movimento, virando o corpo: o equilíbrio é instável.

Em navegação, para obter-se a maior estabilidade possível, na construção de um barco e na distribuição de cargas no seu interior deve-se proceder de forma que o centro de gravidade se aproxime o mais possível do fundo do barco.

Pense & Responda

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Atrito estático e dinâmico

Borges e Nicolau

Três caixas de madeira, A, B e C, de massas 10 kg, 8 kg e 6 kg, respectivamente, são colocadas sobre uma tábua. Aplica-se em cada caixa uma força de intensidade F = 40 N. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre cada caixa e a tábua são, respectivamente, 0,5 e 0,4. Determine a intensidade da força de atrito que age em cada caixa.

Dado: g = 10 m/s²

Cursos do Blog

As forças fundamentais da Natureza
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Preparando-se para as provas

Vetores

Borges e Nicolau

Lembrete:

A grandeza escalar fica perfeitamente definida quando dela se conhecem o valor numérico e a correspondente unidade (exemplos: volume, massa, temperatura, energia).
A grandeza vetorial, além do valor numérico e da unidade, necessita de direção e sentido para ser definida (exemplos: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento).

Vetor

É um ente matemático caracterizado por módulo, direção e sentido.

Adição vetorial

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Subtração vetorial

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Produto de um número real por um vetor

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Componentes de um vetor

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Exercício básicos

Notação vetorial em negrito.

Exercício 1

São dados os vetores a e b. Represente o vetor s soma dos vetores a e b. Analise os casos:

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Exercício 2

Retome o exercício anterior e considere que os módulos dos vetores a e b sejam iguais a 10 unidades (10u). Calcule em cada caso o módulo do vetor soma s.

Exercício 3

Considere o diagrama dos vetores a, b e c, esquematizado abaixo.

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É possivel concluir que:

a) a + b + c = 0

b) a + b = c

c) a + c = b

d) b + c = a

Exercício 4

Considere o diagrama dos vetores a, b e c, esquematizado abaixo.

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É possivel concluir que:

a) a + b + c = 0

b) a + b = c
c) a + c = b
d) b + c = a

Exercício 5
Represente o vetor  s = a + b e o vetor d = a - b. Calcule a seguir seus módulos. Cada lado do quadradinho tem medida igual a u.

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Exercício 6

Seis vetores estão representados no diagrama abaixo. Cada lado do quadradinho tem medida igual a u. Qual é o módulo do vetor soma dos seis vetores dados?

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Exercício 7

É dado o vetor v. Represente os vetores 2v e -v

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Exercício 8

No diagrama i e j são vetores de módulos unitários. Determine as expressões dos vetores a, b e c em função de i e j.

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Exercício 9

Seu Joaquim empurra um carrinho, por meio de uma barra de ferro, aplicando uma força F, de módulo F = 100 N, na direção da barra. Qual é o módulo da componente  da força F na direção perpendicular ao solo?

Dados: sen θ = 0,6; cos θ = 0,8.

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Arte do Blog

Para ver a imagem em 3D você vai precisar de óculos especiais

Cinema em 3D. Novidade. Em 1922...

Borges e Nicolau (com informações da internet)
"The Power of Love", de 1922, foi o primeiro filme em três dimensões exibido no circuito comercial dos Estados Unidos. Naquela época filmes ruins eram taxados de abacaxis, esse deve ter sido um. Não agradou e a novidade foi para a prateleira, só retornando às telas 30 anos depois, em 1952, com "Bwana Devil", que passou para a posteridade como o primeiro, embora tenha sido o segundo. 

Cartaz do "primeiro" filme 3D

Desta vez o público tremeu quando trabalhadores de uma estrada de ferro foram atacados por leões que saiam da tela rugindo como leões. O anúncio do filme perguntava: “O que você quer? Um bom filme ou um leão no colo?”. As pessoas deixavam o cinema com os cabelos em pé, algumas jurando ter sentido bafo de leão. Cruzes!

No momento em que o cinema apresentava imagens em 3D, outra novidade tomava de assalto os lares americanos. A televisão. Podendo ficar em casa comendo pipoca no sofá, as pessoas deixaram de ir ao cinema. Com as contas mudando de verde cintilante para sinistras tonalidades escuro-avermelhadas, sinal de prejuízo na proa, produtores cinematográficos saíram em busca de algo novo capaz de atrair o povo. 

Foi o momento do cinema 3D. Coincidiu com a paranóia das invasões extraterrestres e o medo da guerra atômica. No tempo do macartismo nada melhor do que ver marcianos malvados sendo dizimados por uma gripe patriótica. Melhor ainda, em 3D.

"House of Wax" (1953), "Spooks!" (1953) foram alguns dos filmes em 3D da época. No entanto, apesar do efeito tridimensional, a baixa qualidade das produções acabou fazendo o formato voltar às prateleiras. Poucos filmes foram produzidos depois da fase áurea, como "Tubarão 3D" (1983) e "A Hora do Pesadelo 6 - Pesadelo Final - A Morte de Freddy" (1991).

Se nos anos 50 as pessoas sumiram dos cinemas por causa da televisão, nos anos da primeira década do século XXI o fenômeno volta a acontecer, desta vez por conta da internet. Buscando atrair o público o cinema volta a apelar para a terceira dimensão. A tecnologia dos efeitos especiais promete criar ambientes quase reais, proporcionando aos espectadores aventuras inesquecíveis, com bafo de leão e tudo.

O texto a seguir foi tirado do Portal Terra. "Existem vários sistemas para que se obtenha a sensação de tridimensionalidade. Entenda como funcionam os mais conhecidos:

Anáglifo (óculos a duas cores): utilizam-se filtros de cores complementares, como vermelho e azul ou vermelho e verde. A imagem apresentada, por exemplo, em vermelho não é vista pelo olho que tem um filtro da mesma cor, mas se vê a outra imagem em azul ou verde.

Este sistema, por seu baixo custo, emprega-se sobretudo em publicações e também em monitores de computador e no cinema. Apresenta o problema da alteração das cores, perda de luminosidade e cansaço visual após um uso prolongado. Normalmente o filtro vermelho é usado no olho esquerdo e o azul no olho direito.

Polarização: utiliza-se luz polarizada para separar as imagens da esquerda e da direita. O sistema de polarização não altera as cores, ainda que ocorra uma certa perda de luminosidade. Usa-se tanto em projeção de cinema 3D como em monitores de computador com telas de polarização alternativa. Hoje em dia é o sistema mais econômico para uma qualidade de imagem aceitável.

Alternativo: com este sistema se apresentam em seqüência e alternativamente as imagens esquerda e direita, sincronizadas com óculos dotados de obturadores de cristal líquido, de forma que cada olho vê somente sua imagem correspondente. A uma freqüência elevada, a piscada de olhos torna imperceptível o truque. A técnica é utilizada em monitores de computador, TV e cinemas 3D de última geração."

Dica do Blog

Imagem: Itahisa N. González (Grupo de Observadores Astronômicos de Tenerife)

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Eclipse lunar

Abraçando o horizonte, a Lua cumprimentou os observadores celestes na madrugada de 21 de dezembro. Noite de Eclipse total.

A belíssima imagem sequencial que contemplamos acima e que mostra a progressão do fenômeno, foi obtida em Tenerife, Ilhas Canárias.

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Resolução do Desafio de Mestre (Especial)

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Tinha um prego no meio do caminho

Borges e Nicolau

Um pêndulo de comprimento L é abandonado da posição horizontal, conforme mostra a figura. Ao passar pela vertical que contêm o ponto de suspensão O, o fio intercepta um prego P e o pêndulo passa a descrever  um arco de circunferência de raio r. Prove que para r ≤ 2L/5 a esfera pendular  completa a circunferência de raio r. Despreze os atritos.

Resolução:

Conservação da energia mecânica:

No ponto C, que é o mais alto da trajetória de raio r, devemos impor que a tração é nula e que, portanto,  a força resultante centrípeta é o peso da esfera. Nestas, condições  determinamos a velocidade mínima em C:

Conservação da energia mecânica:

DE VB ≥ Vm, vem:

Cursos do Blog - Respostas

O átomo de Bohr

Borges e Nicolau

Exercício 1

O elétron do átomo de hidrogênio ao absorver um fóton passa do estado fundamental (n=1) para o primeiro estado estacionário excitado (n=2). Sendo h = 4,14.10^-15 eV.s a constante de Planck, determine:

a) a energia absorvida nessa transição;

b) a frequência do fóton absorvido.

Resolução:

a) De En = -13,6/n² (eV), vem:

para n = 1: E1 = - 13,6 eV e para n = 2: E2 = -3,4 eV

A energia absorvida é igual a: ΔE = -3,4 eV-(-13,6 eV) = 10,2 eV

b) ΔE = h.f => 10,2 = 4,14 . 10^-15 . f => f ≈ 2,5 . 10¹⁵ Hz 

Exercício 2

A figura abaixo mostra os níveis de energia do átomo de hidrogênio. Na transição do nível 4 para o nível 1, determine a frequência e o comprimento de onda do fóton emitido.

Dados:
Constante de Planck h = 4,14.10^-15 eV.s
Velocidade de propagação da luz c = 3,0.10⁸ m/s

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Resolução:

Da figura temos: ΔE = h.f => -0,85 (eV) - (-13,4 eV) = 4,14.10^-15 . f

f ≈ 3,0 . 10¹⁵ Hz

λ = c/f => λ = 3,0 . 10⁸/ 3,0 . 10¹⁵ => λ ≈ 1,0 . 10^-7 m

Exercício 3

(UFMG) A figura mostra, esquematicamente, os níveis de energia permitidos para elétrons de um certo elemento químico. Quando esse elemento emite radiação, são observados três comprimentos de onda diferentes, λa, λb, λc.

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a) com base na figura, explique a origem da radiação correspondente aos comprimentos de onda λa, λb  e λc.

b) considere que λa <  λb <  λc. Sendo h a constante de Planck e c a velocidade da luz, determine uma expressão para o comprimento de onda λa.

Resolução:

a) A origem da radiação está relacionada com a passagem do elétron dos níveis de energia: E3 para E1, E3 para E2 e E2 para E1          

b) λa = h . c / E3 - E1

Resolução de preparando-se para as provas

Movimento vertical

Borges e Nicolau

Exercício 1
Uma bolinha de tênis é abandonada de uma altura de 5 m, em relação ao solo. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s². Determine:

a) O tempo que a bolinha demora para atingir o solo (tempo de queda).

b) A velocidade com que a bolinha atinge o solo.

Resolução:

Orientando-se a trajetória para baixo, adotando-se t=0 no instante que a bolinha é abandonada e considerando a origem dos espaços no ponto de partida, temos:

a)

b)

Exercício 2
Uma bolinha é lançada com velocidade v0 = 10 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s². Determine:

a) A altura máxima atingida pela bolinha.

b) O tempo que a bolinha demora para atingir a altura máxima (tempo de subida).

Resolução:

Orientando-se a trajetória para cima, adotando-se t=0 no instante que a bolinha é  lançada e considerando  a origem dos espaços no ponto de partida, temos:

a)

b)

Exercício 3
Uma bolinha é abandonada de uma altura H e percorre no último segundo de queda a distância 3H/4. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s². Determine o valor de H.

Resolução:

Exercício 4
Lança-se uma pequena esfera A, a partir do solo com velocidade
v0 = 20 m/s. Outra pequena esfera B é abandonada de uma altura
H = 20 m, na mesma vertical em que A foi lançada , mas 1s depois. Após quanto tempo do lançamento de A ocorre o encontro entre as esferas? Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s².

Resolução:

Orientando-se a trajetória para cima, adotando-se t=0 no instante que a esfera A é lançada e considerando a origem dos espaços no ponto de partida de A, temos:

Esfera A: SA = 20t - 5t² (SI)

Esfera B: SB = 20 - 5(t-1)² (SI)

Encontro: SA = SB => 20t - 5t² = 20 - 5(t-1)² => t = 1,5 s

Exercício 5
Um helicóptero sobe verticalmente em movimento uniforme e com velocidade 10 m/s. Ao atingir a altura de 75 m um pequeno parafuso desprende-se do helicóptero. Quanto tempo o parafuso leva para atingir o solo? Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s².

Resolução:

s = 75 +10t - 5t² => 0 = 75 +10t - 5t² => t = 5 s