Cursos do Blog - Mecânica

14ª aula
Cinemática vetorial (II)

Borges e Nicolau

Aceleração vetorial média (a_m)

Seja v₁ a velocidade de um móvel num instante t₁ e v₂ sua velocidade num instante posterior t₂.

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A aceleração vetorial média a_m é o quociente entre a variação da velocidade 
Δv = v₂ - v₁ e o correspondente intervalo de tempo Δt = t₂ - t₁.

a_m tem a direção e o sentido de Δv.

Aceleração vetorial instantânea (a)

Aceleração centrípeta (a_cp)
É a aceleração que indica a variação na direção da velocidade vetorial. Existe aceleração centrípeta sempre que o móvel percorre trajetória curva.

Características de a_cp:

Módulo: Ia_cpI = v²/R, em que v é a velocidade escalar e R, o raio da curva descrita.
Direção: perpendicular à velocidade vetorial em cada ponto.
Sentido: orientado para o centro (C) de curvatura da trajetória.

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Aceleração tangencial (a_t)
É a aceleração que indica variação no módulo da velocidade vetorial. Existe aceleração tangencial nos movimentos variados.

Características de a_t:

Módulo: Ia_tI = IαI, em que α é a aceleração escalar.
Direção: tangente à trajetória.
Sentido: o mesmo de v se o movimento for acelerado, oposto ao de v se o movimento for retardado.

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Aceleração vetorial (a)
É a soma vetorial da aceleração centrípeta (a_cp) e da aceleração tangencial (a_t):

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Exercícios básicos
x
Lembrete:
Notação vetorial em negrito
x
Exercício 1:
Um ciclista realiza um movimento circular e uniforme com velocidade escalar 
v = 10 m/s. No instante t₁ = 10 s ele passa pela posição A e no instante 
t₂ = 30 s pela posição B, movimentando-se no sentido horário.

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a) Represente as velocidade vetoriais v₁ e v₂ nos instantes em que o ciclista passa por A e B, respectivamente.
b) Represente o vetor Δv = v₂ - v₁.
c) Calcule o módulo de Δv.
d) Calcule o módulo da aceleração vetorial média a_m no intervalo de tempo 
de t₁ a t₂.

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Exercício 2:
Retome o exercício anterior e represente a aceleração vetorial no instante em que o ciclista passa pela posição C e calcule o módulo desta aceleração. Sabe-se que o raio da trajetória é de 100 m.

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Exercício 3:
Um carro parte do repouso e realiza um movimento circular e uniformemente variado de raio 100 m, com aceleração escalar α = 2 m/s².
a) Calcule os módulos da aceleração centrípeta, da aceleração tangencial e da aceleração total, 5 s após a partida. Sabe-se que neste instante o carro está passando pela posição P.
b) Represente os vetores velocidade, aceleração centrípeta, aceleração tangencial e aceleração total, no instante em que o carro passa por P.

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Exercício 4:
Uma moto desenvolve um movimento circular e num determinado instante passa pela posição P. Neste instante representamos sua velocidade vetorial v, a aceleração resultante a e suas componentes centrípeta a_cp e tangencial a_t.
Responda:
a) O movimento da moto, no instante em que passa por P, é acelerado ou retardado?
b) Sendo o módulo da aceleração resultante na posição P igual a 6 m/s², calcule os módulos das acelerações tangencial e centrípeta.
c) No instante indicado v = 10 m/s, qual é o raio da trajetória?
Dados: sen 30º = 0,5 e cos 30º = √3/2

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x
Exercício 5:
Complete a tabela escrevendo uma das opções: nula ou não nula.

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Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(PUC-MG)
Um objeto em movimento circular uniforme passa pelo ponto A e, 1 segundo após, passa pelo ponto B. A aceleração vetorial média nesse intervalo de tempo tem módulo em m/s²:

a) √2.
b) 2.
c) 4.
d) 0.
e) 0,5.

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Revisão/Ex 2:
(PUC-MG)
Leia atentamente os itens a seguir, tendo em vista um movimento circular e uniforme:

I. A direção da velocidade é constante.
II. O módulo da velocidade não é constante.
III. A aceleração é nula.

Assinale:
a) se apenas I e III estiverem incorretas.
b) se I, II e III estiverem incorretas.
c) se apenas I estiver incorreta.
d) se apenas II estiver incorreta.
e) se apenas III estiver incorreta.

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Revisão/Ex 3:
(UEL-PR)
Uma pista é constituída por três trechos: dois retilíneos AB e CD e um circular BC, conforme esquema abaixo.

Se um automóvel percorre toda a pista com velocidade escalar constante, o módulo da sua aceleração vetorial será:

a) nulo em todos os trechos.
b) constante, não nulo, em todos os trechos.
c) constante, não nulo, nos trechos AB e CD.
d) constante, não nulo, apenas nos trecho BC.
e) variável apenas no trecho BC.

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Revisão/Ex 4:
(UFSCar-SP)
Nos esquemas estão representadas a velocidade v e a aceleração a do ponto material P. Assinale a alternativa em que o módulo da velocidade desse ponto material permanece constante.

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Revisão/Ex 5:
(Escola Naval-RJ)
Uma partícula A move-se em uma circunferência, no plano da figura, de tal maneira que o módulo da velocidade vetorial diminui no decorrer do tempo. Em um dado instante, indicado na figura, a partícula possui aceleração de módulo igual a 25 m/s² e velocidade v_A.

a) Represente na figura a velocidade v_A.
b) Determine o módulo de v_A.

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r
Desafio: 

No instante t = 0 uma partícula parte do repouso de um ponto A e descreve um movimento circular uniformemente variado, no sentido horário, com aceleração escalar 2,0 m/s², conforme a figura.

Determine no instante t = 3,0 s:

a) a posição da partícula;
b) o módulo da  aceleração centrípeta (acp)
c) o módulo da  aceleração tangencial (at)
d) o módulo da aceleração total (a)
e) represente  os vetores velocidade, aceleração centrípeta, aceleração vetorial e aceleração total.
Dado: o comprimento da circunferência que a partícula descreve é de 18 m. π = 3.

O resultado será publicado na próxima segunda-feira.
 

Resolução do desafio anterior: 

Considere um sistema cartesiano xOy  

                                   
Um móvel parte da origem O, no instante t = 0, percorre 3,0 m sobre o eixo Ox e no sentido positivo do eixo. A seguir, percorre 4,0 m, numa trajetória paralela a Oy e no seu sentido positivo. Depois, caminha 6,0 m em trajetória paralela ao eixo Ox e no sentido negativo, atingindo um ponto A.

a) Represente a trajetória descrita pelo móvel de O até A.
b) Quais são as coordenadas x e y do ponto A?
c) Qual é o módulo do vetor deslocamento entre as posições O e A?
d) Sabendo-se que, em todos os trechos, a partícula descreve um movimento uniforme de velocidade escalar 6,5 m/s, calcule o módulo do vetor velocidade média entre as posições O e A.
e) Depois de 1,0 s da partida, a partícula atinge um ponto B de sua trajetória. Quais são as coordenadas x e y do ponto B?

a) Trajetória descrita pela partícula de O até A:

b) Da figura acima, concluímos que as coordenadas de A são: x = -3,0 m e y = 4,0 m
 
c)

IdI² = (3,0)² + (4,0)² => IdI = 5,0 m

d)
Sendo v = Δs/Δt, temos: 6,5 = (3,0+4,0+6,0)/Δt => Δt = 2,0 s

O módulo da velocidade vetorial média desde t = 0 até t = 2,0 s é dado por:

Iv_mI = IdI/Δt => Iv_mI = 5,0m/2,0s => Iv_mI = 2,5 m/s

e) Entre os instantes t = 0 e t = 1,0 s a partícula percorre 6,5 m: 3,0 m no eixo Ox e 3,5 m na direção do eixo Oy,atingindo o ponto B. 
Assim, as coordenadas de B são: x = 3,0 m e y = 3,5 m