Aulas 3 a 5 de Eletricidade

 

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Entre cargas elétricas de sinais opostos ocorre atração e entre cargas elétricas de mesmo sinal, repulsão.

 

3ª aula 
Lei de Coulomb (I)
Nicolau

Lei de Coulomb

A intensidade da força de ação mútua entre duas cargas elétricas puntiformes é diretamente proporcional ao produto dos valores absolutos das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

k: constante eletrostática do meio onde estão as cargas.

No vácuo:

Exercícios básicos
 
Exercício 1:
Duas partículas igualmente eletrizadas estão separadas pela distância de 20 cm. A força eletrostática com que elas interagem tem intensidade de 3,6 N. O meio é o vácuo (k0 = 9.10⁹ N.m²/C²).
a) Entre as partículas ocorre atração ou repulsão?
b) Qual é o valor da carga elétrica de cada partícula?
c) Sendo 1,6.10^-19 C a carga elétrica elementar (carga elétrica do próton que em módulo é igual à carga elétrica do elétron), qual é o número de elétrons (em excesso ou em falta) que constitui a carga elétrica de cada partícula?

Resolução: clique aqui 
 
Exercício 2:
Duas partículas eletrizadas com cargas elétricas Q₁ e Q₂, separadas pela distância d, atraem-se com uma força eletrostática de intensidade F. O meio é o vácuo. Determine em função de F a intensidade da força eletrostática de interação entre as partículas, nos casos:
a) Mantêm-se os valores de Q₁ e Q₂ e dobra-se a distância entre as partículas.
b) Mantêm-se os valores de Q₁ e Q₂ e triplica-se a distância entre as partículas.
c) Mantém-se a distância d e duplicam-se os valores das cargas elétricas das partículas.
d) Duplicam-se os valores das cargas elétricas das partículas e a distância d entre elas.

Resolução: clique aqui
x
Exercício 3:
Considere três partículas igualmente eletrizadas, cada uma com carga elétrica Q e fixas nos pontos A, B e C. Entre A e B a força eletrostática de repulsão tem intensidade 8,0.10^-2 N. Qual é a intensidade da força eletrostática resultante das ações de A e C sobre B?

Resolução: clique aqui

Exercício 4:
Duas pequenas esferas metálicas idênticas estão eletrizadas com cargas elétricas +Q e –3Q. Situadas a uma distância d, as esferas atraem-se com uma força eletrostática de intensidade F = 9,0.10^-2 N. As esferas são colocadas em contato e depois de alguns instantes são recolocadas em suas posições originais. Qual é a nova intensidade da força de interação eletrostática entre as esferas. Esta nova força é de atração ou de repulsão?

Resolução: clique aqui 

Exercício 5:
Uma pequena esfera A, eletrizada com carga elétrica Q = 10^-8 C, está fixa num ponto O. Outra pequena esfera eletrizada, B, com mesma carga elétrica e de massa 1 mg (miligrama) é colocada na vertical que passa pelo ponto O e acima deste ponto. Observa-se que B fica em equilíbrio. Determine a distância entre A e B.
Dados: k₀ = 9.10⁹ N.m²/C²; g = 10 m/s²

Resolução: clique aqui

Exercícios de Revisão 

Revisão/Ex 1: 
(VUNESP)
Dois corpos pontuais em repouso, separados por certa distância e carregados eletricamente com cargas de sinais iguais, repelem-se de acordo com a Lei de Coulomb.

a) Se a quantidade de carga de um dos corpos for triplicada, a força de repulsão elétrica permanecerá constante, aumentará (quantas vezes?) ou diminuirá (quantas vezes?)?
b) Se forem mantidas as cargas iniciais, mas a distância entre os corpos for duplicada, a força de repulsão elétrica permanecerá constante, aumentará (quantas vezes?) ou diminuirá (quantas vezes?)?

Resolução: clique aqui  

Revisão/Ex 2:
(UFPB)
O gráfico abaixo representa o módulo da força com que duas cargas pontuais q₁ e q₂ se repelem, em função da distância d entre elas.
 

Usando a Lei de Coulomb, determine o valor:

a) de F₁ 
b) do produto q₁.q₂

É dada a constante eletrostática do vácuo: 
k₀ = 9.10⁹ N.m²/C²

Resolução: clique aqui   

Revisão/Ex 3:
(Uespi)
Duas pequenas esferas condutoras idênticas, separadas por uma distância L, possuem inicialmente cargas elétricas iguais a +q e +3q. Tais esferas são colocadas em contato e, após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático, são separadas por uma distância 2L. Nas duas situações, todo o sistema está imerso no vácuo. Considerando tais circunstâncias, qual é a razão F_antes/F_depois entre os módulos das forças elétricas entre as esferas antes e depois delas serem colocadas em contato.

a) 3/4          d) 3
b) 3/2          e) 6
c) 2

Resolução: clique aqui 

Revisão/Ex 4:
(U.Mackenzie-SP)
Em um determinado instante, dois corpos de pequenas dimensões estão eletricamente neutros e localizados no ar. Por certo processo de eletrização, cerca de 5 . 10¹³ elétrons “passaram” de um corpo a outro. Feito isto, ao serem afastados entre si de uma distância de 1,0 cm, haverá entre eles:

a) uma repulsão eletrostática mútua, de intensidade 5, 76 kN.
b) uma repulsão eletrostática mútua, de intensidade 7,2 . 10⁵ kN.
c) uma interação eletrostática mútua desprezível, impossível de ser determinada.
d) uma atração eletrostática mútua, de intensidade 7,2 . 10⁵ kN.
e) uma atração eletrostática mútua, de intensidade 5, 76 kN.

Dados:

Resolução: clique aqui 

Revisão/Ex 5:
(UDESC)
Duas cargas puntiformes +4q e +q estão dispostas ao longo de uma linha reta horizontal e separadas por uma distãncia d. Em que posição x, ao longo da linha horizontal, e em relação à carga +4q deve-se localizar uma terceira carga +q a fim de que esta adquira uma aceleração nula.

a. ( ) 2d/3
b. ( ) 3d/2
c. ( ) 5d/4
d. ( ) d/3
e. ( ) 3d/4

Resolução: clique aqui 

Desafio:

Duas partículas A e B, eletrizadas positivamente com carga elétrica Q, são fixas em pontos separados pela distância 2d. A força eletrostática de repulsão entre elas tem intensidade F. No ponto médio entre as duas partículas A e B, fixa-se uma partícula C, eletrizada negativamente, com carga elétrica –Q/2. Considere que a interação entre elas é somente eletrostática. Analise as afirmações:

I) As intensidades das forças eletrostáticas resultantes que agem em A e B, aumentam passando para 3F/2
II) A força eletrostática resultante sobre a partícula C é nula.
III) As intensidades das forças eletrostáticas resultantes que agem em A e B, diminuem passando para F/2
IV) As forças elétricas resultante que agem em A e B invertem de sentido, ao se fixar a partícula C.

Quais afirmações são corretas?

A resolução será publicada na próxima aula

Resolução do desafio anterior: 

Aproxima-se uma esfera metálica A, eletrizada positivamente, de duas esferas metálicas idênticas B e C, inicialmente descarregadas e encostadas uma na outra. Represente na figura abaixo as cargas elétricas induzidas nas esferas B e C:

Em seguida, afasta-se um pouco a esfera B da esfera C e afasta-se a esfera A para bem longe de B e C. Represente, nesta situação, a distribuição das cargas elétricas em B e C:

Estando a esfera A bem distante, como seria a distribuição das cargas elétricas  em B e C, supostas também bem distantes uma da outra?

Resolução:

A esfera A induz na região de B, próxima de A, cargas elétricas negativas e na região de C, mais afastada de A, cargas elétricas positivas:

Afastando-se A e separando-se um pouco B de C, as cargas elétricas induzidas se atraem:

Afastando-se A e separando-se B de C, de modo que fiquem bem distantes, as cargas elétricas de B se distribuem uniformemente  em sua superfície, o mesmo ocorrendo com as cargas elétricas de C:

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Esquema mostrando esferas de isopor eletrizadas com cargas elétricas de mesmo sinal

4ª aula
Lei de Coulomb (II)

 Nicolau

Lei de Coulomb

A intensidade da força de ação mútua entre duas cargas elétricas puntiformes é diretamente proporcional ao produto dos valores absolutos das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

k: constante eletrostática do meio onde estão as cargas.

No vácuo:


Exercícios básicos
 
Exercício 1:
Duas partículas eletrizadas com cargas elétricas Q e 4Q estão fixas em pontos A e B, situados a uma distância D. No ponto C, a uma distância d de A, coloca-se outra partícula eletrizada com carga elétrica q e observa-se que ela fica em equilíbrio sob ação de forças eletrostáticas somente. Determine a relação d/D.

Resolução: clique aqui 

Exercício 2:
Três partículas eletrizadas com cargas elétrica Q, 2Q e 3Q estão fixas nos pontos A, B e C, conforme a figura. Seja F a intensidade da força eletrostática que B exerce em C. Qual é, em função de F, a intensidade da força eletrostática que A exerce em C?

Resolução: clique aqui

Exercício 3:
Três partículas eletrizadas, A, B e C, estão fixas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L = 30 cm. Determine a intensidade da força eletrostática resultante da ação A e B sobre C. Analise os casos:

Dados: Q = 1,0 μC e k0 = 9.10⁹ N.m²/C²

Resolução: clique aqui   

Exercício 4:
Três partículas eletrizadas com cargas elétricas iguais a Q estão fixas nos vértices A, B e C de um quadrado. Uma quarta partícula eletrizada com carga elétrica q é fixada no vértice D. Para que a força eletrostática resultante sobre a partícula colocada em B seja nula, devemos ter:

a) q = Q
b) q = -Q
c) q = 2√2Q
d) q = -√2Q
e) q = -2√2Q

Resolução: clique aqui

Exercício 5:
Seis partículas eletrizadas estão fixas nos vértices de um hexágono regular de lado
L = 30 cm, conforme mostra a figura. Sendo Q = 1 μC e k0 = 9.10⁹ N.m²/C², determine a intensidade da força eletrostática resultante que age numa partícula eletrizada com carga elétrica q = 10^-8 C, colocada no centro do hexágono.

Resolução: clique aqui

Exercícios de Revisão

Revisão/Ex: 1
(UNICAMP-SP)
Cada uma das figuras abaixo representa duas bolas metálicas de massas iguais, em repouso, suspensas por fios isolantes. As bolas podem estar carregadas eletricamente. O sinal da carga está indicado em cada uma delas. A ausência de sinal indica que a bola está descarregada. O ângulo do fio com a vertical depende do peso da bola e da força elétrica devido à bola vizinha. Indique em cada caso se a figura está certa ou errada.

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Revisão/Ex: 2
(UFAM)
Três corpos pontuais X, Y e Z têm cargas de mesma intensidade e sinais mostrados na figura. Elas estão localizadas em um triãngulo isósceles. As cargas X e Y são mantidas fixas e a carga Z é livre para se mover. Qual a direção e o sentido da força elétrica em Z?
As opções de direção e sentido estão listadas na própria figura.

Resolução: clique aqui

Revisão/Ex: 3
(UFTM)
Duas esferas metálicas idênticas, de pequenas dimensões e isoladas, têm cargas elétricas positivas q₁ e q₂. O gráfico 1 representa a variação do módulo da força de repulsão entre elas, em função da distãncia que as separa.
Essas esferas são colocadas em contato, de modo que a carga total se conserve, e depois são separadas. O gráfico 2 representa a variação do módulo da força de repulsão entre elas, em função da distãncia que as separa, nessa nova situação.

Sabendo que k = 9.10⁹ N.m²/C², calcule:

a) O módulo da força F₁ indicada no gráfico 1.
b) O valor de q₁+q₂.

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Revisão/Ex: 4
(UFTM)
Uma haste isolante, homogênea e apoiada em seu centro geométrico equilibra quatro pequenas esferas idênticas e de massas desprezíveis, carregadas com cargas elétricas Q_A, Q_B, Q_C e Q_D, posicionadas como mostra a figura.

Se as intensidades das cargas elétricas Q_B, Q_C e Q_D são iguais a Q, a carga elétrica Q_A, para que seja mantido o equilíbrio horizontal da haste, é igual a

(A) Q/4.
(B) Q/2.
(C) Q.
(D) 2.Q.
(E) 4.Q.

Resolução: clique aqui

Revisão/Ex: 5
(UEG)
Duas esferas idênticas são suspensas por fios de complimento l, com os pontos de suspensão separados por 2l. Os fios são isolantes, inextensíveis e de massas desprezíveis. Quando as esferas estão carregadas com cargas Q, de mesmo sinal, os fios fazem um ângulo de 30º com a vertical. Descarregando as esferas e carregando-as com cargas q de sinais opostos, os fios formam novamente um ângulo de 30º com a vertical. De acordo com as informações apresentadas, calcule o módulo da razão Q/q.

Resolução: clique aqui
s
Desafio:

Considere um triângulo equilátero ABC, de lado L. Seja G seu baricentro. Nos vértices A, B e C fixam- se partículas eletrizadas com cargas elétricas Q, Q e 2Q, respectivamente.  Qual a intensidade da força eletrostática resultante que age numa partícula de carga Q, fixa no baricentro G?
Dados: Q = 1,0.10^-6 C; K₀ = 9.10⁹ N.m²/C²; L = 1,0 m

A resolução será publicada na próxima quarta-feira.

Resolução do desafio anterior: 

Duas partículas A e B, eletrizadas positivamente com carga elétrica Q, são fixas em pontos separados pela distância 2d. A força eletrostática de repulsão entre elas tem intensidade F. No ponto médio entre as duas partículas A e B, fixa-se uma partícula C, eletrizada negativamente, com carga elétrica –Q/2. Considere que a interação entre elas é somente eletrostática. Analise as afirmações:

I) As intensidades das forças eletrostáticas resultantes que agem em A e B, aumentam passando para 3F/2
II) A força eletrostática resultante sobre a partícula C é nula.
III) As intensidades das forças eletrostáticas resultantes que agem em A e B, diminuem passando para F/2
IV) As forças elétricas resultante que agem em A e B invertem de sentido, ao se fixar a partícula C.

Quais afirmações são corretas?

Temos as situações:

1º) Antes de fixar a partícula C

2º) Depois de a partícula C ser fixada

A partícula C atrai as partículas A e B com força eletrostática de intensidade F₁. Note que a força eletrostática resultante sobre a partícula C é nula.

Sendo F = K.QQ/4d² e F₁ = K.Q.(Q/2)/d², resulta F₁ = 2F

Concluímos, então, que as  intensidades das forças resultante em A e em B são dadas por: F₁ - F = 2F - F = F: as forças resultantes em A e em B invertem de sentido e têm intensidades iguais a F.

São corretas: II) e IV).

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5ª aula
Campo Elétrico (I)

 Nicolau

1. Recordando o conceito de campo elétrico

Uma carga elétrica puntiforme Q fixa, por exemplo positiva, (ou uma distribuição de cargas elétricas fixas) modifica a região do espaço que a envolve. Dizemos que a carga elétrica Q (ou a distribuição de cargas) origina, ao seu redor, um campo elétrico. Uma carga elétrica puntiforme q colocada num ponto P dessa região fica sob ação de uma força elétrica F_e. Esta força se deve à interação entre o campo elétrico e a carga elétrica q.

A cada ponto P do campo elétrico, para medir a ação da carga Q ou das cargas que criam o campo, associa-se uma grandeza vetorial E denominada vetor campo elétrico.
A força elétrica que age na carga elétrica q colocada em P é dada pelo produto do valor da carga q pelo vetor campo elétrico E associado ao ponto P.

Se q>0, F_e tem o mesmo sentido de E.
Se q<0, F_e tem sentido oposto ao de E.
F_e e E têm sempre a mesma direção.

No SI a unidade da intensidade de E (E = F/IqI) é newton/coulomb (N/C).



2. Características do vetor campo elétrico gerado por uma carga elétrica puntiforme Q fixa

No campo elétrico de uma carga elétrica puntiforme fixa Q, o vetor campo elétrico num ponto P, situado a uma distância d da carga, tem intensidade E que depende do meio onde a carga se encontra, é diretamente proporcional ao valor absoluto da carga e inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto à carga. Considerando o meio o vácuo, temos:

Se Q for positivo o vetor campo elétrico é de afastamento. Se Q for negativo, o vetor campo elétrico é de aproximação:

3. Campo elétrico gerado por várias cargas elétricas puntiformes

No caso do campo gerado por duas ou mais cargas elétricas puntiformes, cada uma originará, num ponto P, um vetor campo elétrico.

O vetor campo resultante será obtido por meio da adição vetorial dos diversos vetores campos individuais no ponto P.

Observação: todas as considerações feitas são válidas para um campo elétrico no qual em cada ponto o vetor campo elétrico não varia com o tempo. É o chamado campo eletrostático.



Exercícios básicos

Exercício 1:
Em um ponto P de um campo elétrico o vetor campo elétrico tem direção horizontal, sentido da esquerda para a direita e intensidade 4.10⁵ N/C. Determine a direção, o sentido e a intensidade da força elétrica que age numa carga elétrica puntiforme q, colocada no ponto P. Considere os casos:

a) q = +3 µC
b) q = - 3 µC

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Exercício 2:
Uma partícula de massa m e eletrizada com carga elétrica q é colocada num ponto P de um campo elétrico, onde o vetor campo elétrico E tem direção vertical, sentido de cima para baixo e intensidade E. Observa-se que a partícula fica em equilíbrio sob ação da força elétrica e do seu peso. Sendo g a aceleração da gravidade, qual a alternativa que fornece o valor de q?

a) q = m.g.E
b) q = E/m.g
c) q = m.g/E
d) q = -m.g/E
e) q = -m.g.E

Resolução: clique aqui 

Exercício 3:
Seja E o vetor campo elétrico em P, gerado por uma carga elétrica Q e F_e a força eletrostática que age numa carga elétrica q colocada em P. Quais os sinais de Q e q nos casos indicados abaixo?

Resolução: clique aqui

Exercício 4:
O vetor campo elétrico no ponto A, do campo elétrico gerado por uma carga elétrica puntiforme Q, tem intensidade 10⁴ N/C.

a) Qual é o sinal de Q?
b) Qual é a intensidade do vetor campo elétrico no ponto B?

Resolução: clique aqui

Exercício 5:
Determine a intensidade do vetor campo elétrico resultante no ponto P, nos casos indicados abaixo.
Considere Q = 3 µC; d = 0,3 m; k₀ = 9. 10⁹ N.m²/C²
 

x
Resolução: clique aqui 

Exercícios de Revisão 

Revisão/Ex 1:
(MACKENZIE)
Sobre uma carga elétrica de 2,0.10^-6 C, colocada em certo ponto do espaço, age uma força de intensidade 0,80 N. Despreze as ações gravitacionais. A intensidade do campo elétrico nesse ponto é:

a) 1,6.10^-6 N/C
b) 1,3.10^-5 N/C
c) 2,0.10³ N/C
d) 1,6.10⁵ N/C
e) 4,0.10⁵ N/C

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Revisão/Ex 2:
(UEMA)
O módulo do vetor campo elétrico produzido por uma carga elétrica Q em um ponto “P” é igual a “E”. Dobrando-se a distância entre a carga e o ponto “P”, por meio do afastamento da carga e dobrando-se também o valor da carga, o módulo do vetor campo elétrico, nesse ponto, muda para:

a) 8E
b) E/4
c) 2E
d) 4E
e) E/2

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Revisão/Ex 3:
(Fatec-SP)
Duas cargas elétricas, q₁ = -4 µC e q₂ = 4 µC são fixas nos vértices A e B de um triângulo equilátero ABC de lados 20 cm.

Sendo a constante eletrostática do meio k = 9.10⁹ N.m²/C², o módulo do vetor campo elétrico gerado pelas duas cargas no vértice C vale, em N/C:

a) 1,8.10⁶
b) 9,0.10⁵ 
c) 4,5.10⁵ 
d) 9,0.10⁴
e) zero0⁴

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Revisão/Ex 4:
(FUVEST)
O campo elétrico de uma carga puntiorme em repouso tem, nos pontos A e B, as direções e sentidos indicados pelas flechas na figura abaixo. O módulo do campo elétrico no ponto B vale 24 V/m. O módulo do campo elétrico no ponto P da figura vale, em volt/metro,

a) 3
b) 4
c) 3√2
d) 6
e) 12

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Revisão/Ex 5:
(IJSO)
No campo elétrico gerado por uma carga elétrica puntiforme Q, situada num ponto O, considere os pontos A e B, tal que O, A e B pertençam ao mesmo plano vertical.
Em A o vetor campo elétrico E_A tem direção horizontal e intensidade
E_A = 8,0.10⁵ N/C. Uma partícula de massa m = 2,0.10^-3 kg e carga elétrica q é colocada em B e fica em equilíbrio sob ação de seu peso e da força elétrica exercida por Q. 

Sendo g = 10 m/s², pode-se afirmar que a carga q é igual a:

a) 1,0.10^-7 C
b) -1,0.10^-7 C
c) 2,0.10^-7 C
d) -2,0.10^-7 C
e) 4,0.10^-7 C

Resolução: clique aqui
v
Desafio:

Nos vértices A e B de um triângulo equilátero ABC de lado L = 10 cm, fixam-se duas partículas eletrizadas com cargas elétricas Q_A = 5,0 µC e Q_B = -5,0 µC, respectivamente. É dada a constante eletrostática K₀ = 9.10⁹ N.m²/C².

a) Determine a intensidade do vetor campo elétrico resultante no vértice C
b) É possível fixar no ponto médio do segmento AB uma partícula eletrizada de modo que o campo elétrico resultante em C seja nulo?

A resolução será publicada na próxima quarta-feira.

Resolução do desafio anterior: 

Considere um triângulo equilátero ABC, de lado L. Seja G seu baricentro. Nos vértices A, B e C fixam- se partículas eletrizadas com cargas elétricas Q, Q e 2Q, respectivamente.  Qual a intensidade da força eletrostática resultante que age numa partícula de carga Q, fixa no baricentro G?
Dados: Q = 1,0.10^-6 C; K₀ = 9.10⁹ N.m²/C²; L = 1,0 m

Resolução:

Q situado em A repele Q situado em G com força de intensidade F
Q situado em B repele Q situado em G com força de intensidade F

A resultante destas duas forças tem intensidade F’ = F

2Q situado em C repele Q situado em G com força de intensidade 2F

A força eletrostática resultante da ação das três partículas sobre a situada em G, tem intensidade: F_result = 2F – F = F

Cálculo de F:

h² = L² - (L/2)² => h² = 3L²/4 => h = L.√3/2
2h/3 = L.√3/3
F = K₀.Q.Q/(L.√3/3)² =>
F =  9.10⁹.1,0.10^-6.1,0.10^-6/(1,0.√3/3)² => F = 2,7.10^-2 N

Resposta: F_result = 2,7.10^-2 N