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segunda-feira, 30 de novembro de 2015

Cursos do Blog - Mecânica


36ª aula
Gravitação
x
Borges e Nicolau

Johannes Kepler

Johannes Kepler (1571-1630), notável astrônomo e matemático alemão, estabeleceu a forma como os planetas se movem em torno do Sol. Oito são os planetas de nosso sistema solar, na seguinte ordem de distância ao Sol: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.

Kepler foi discípulo do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546–1601), tendo herdado precisas observações de seu mestre. Depois de muito estudo enunciou as três leis do movimento planetário, conhecidas hoje como Leis de Kepler.

Leis de Kepler

Primeira lei de Kepler ou lei das órbitas

As órbitas descritas pelos planetas são elipses, com o Sol ocupando um dos focos.

As órbitas descritas pelos planetas são elipses
 
Segunda lei de Kepler ou lei das áreas

O segmento que une o centro do Sol ao centro do planeta descreve áreas proporcionais aos intervalos de tempo de percurso.

Assim, seja A a área varrida por um planeta num intervalo de tempo Δt.


Podemos escrever, de acordo com a segunda lei de Kepler:

A = K.Δt

K é uma constante de proporcionalidade que depende do planeta.

Observações:

• A relação A/Δt = K recebe o nome de velocidade areolar, sendo uma constante para cada planeta do sistema solar.
• A velocidade de translação de um planeta ao redor do Sol não é constante, sendo máxima quando o planeta está mais próximo do Sol (periélio) e mínima, quando mais distante (afélio).

As áreas varridas são proporcionais aos intervalos de tempo de percurso

Terceira lei de Kepler ou lei dos períodos

O quadrado do período de revolução, de cada planeta ao redor do Sol, é diretamente proporcional ao cubo do semi eixo  maior da correspondente trajetória.

Assim, seja T o período de revolução e R o semi eixo maior da elipse.


Podemos escrever, de acordo com a terceira lei de Kepler:

T2/R3 = constante

Esta constante depende da massa do Sol e da massa do planeta. Como a massa do planeta é muito menor do que a massa do Sol, considera-se que a constante depende somente da massa do Sol, sendo, portanto, a mesma para todos os planetas.


Deste modo, para a Terra e Marte, por exemplo, podemos escrever:

T2Terra/R3Terra = T2Marte/R3Marte

Observações:

• Se a órbita de um planeta for considerada circular, o semi eixo maior é o próprio raio da circunferência que constitui a órbita.
• As leis de Kepler são válidas de um modo geral para quaisquer corpos que gravitem em torno de um outro de massa muito maior.

Quanto maior o semi eixo maior da trajetória, maior é o período do planeta, isto é, maior é o seu ano. O período de Marte é de aproximadamente 1,881 ano terrestre. Já o período de Netuno é de 165,951 anos terrestres.

(Imagens: painéis do Museu Aeroespacial de Washington-DC fotografados por Nicolau Gilberto Ferraro.)

Veja a Leis de Kepler em animações:

Primeira lei de Kepler 
Segunda lei de Kepler 
Terceira lei de Kepler

Exercícios básicos

Exercício 1:
Um planeta descreve em torno do Sol a trajetória indicada na figura:


a) Em qual dos pontos indicados a velocidade de translação do planeta é máxima? Qual é o nome dado a este ponto?
b) Em qual dos pontos indicados a velocidade de translação do planeta é mínima? Qual é o nome dado a este ponto?
c) O movimento do planeta de A para B é acelerado ou retardado? 


Resolução: clique aqui

Exercício 2:
A figura representa a órbita da Terra em torno do Sol. A área A1 é varrida em 2 meses e a área A2 em 5 meses. Qual é a relação entre as áreas A1/A2? 


Resolução: clique aqui

Exercício 3:
Um planeta descreve uma órbita circular de raio R. O período de translação do planeta é T. Calcule em função de R e T a velocidade areolar do planeta.

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Exercício 4:
O raio da órbita de Júpiter em torno do Sol é 5,2 vezes o raio da Terra. Determine o ano de Júpiter, isto é, o período da translação de Júpiter em torno do Sol, expresso em anos terrestres. 

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Exercício 5:
Dois satélites da Terra descrevem órbitas circulares de raios R1 e R2 e de períodos
T1 e T2. Sendo R1/R2 = 4, qual é a relação T1/T2? 

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1:
(UFMA)
Ao ser examinado sobre o movimento dos planetas, um aluno escreveu os seguintes enunciados para as leis de Kepler.

I. Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.
II. O segmento de reta que une um planeta ao Sol "varre" áreas proporcionais aos intervalos de tempo dos percursos.
III. Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios médios das órbitas.

Dos enunciados acima está(ão) correto(s):

a) todos.
b) nenhum.
c) somente I.
d) somente II.
e) somente III. 

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Revisão/Ex 2:
(UFPI)
Um planeta gira, em órbita elíptica, em torno do Sol. Considere as afirmações:

I. Na posição A, a quantidade de movimento linear do planeta tem módulo máximo.
II. Na posição C, a energia potencial do sistema (Sol + planeta) é máxima.
III. Na posição B, a energia total do sistema (Sol + planeta) tem um valor intermediário, situado entre os correspondentes valores em A e C.



Assinale a alternativa correta:

a) I e III são verdadeiras.
b) I e II são verdadeiras.
c) II e III são verdadeiras.
d) apenas II é verdadeira.
e) apenas I é verdadeira.

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Revisão/Ex 3:
(Olimpíada Brasileira de Física)
Considere que um planeta de raio R tem dois satélites A e B que descrevem órbitas circulares, como ilustrado na figura a seguir.



Desprezando a força de atração gravitacional entre os satélites, qual é o valor da razão TB/TA entre os períodos de revolução dos satélites em torno do planeta?

a) (3/2)2/3
b) (2/3)2/3
c) (5/2)3/2
d) 23/2
e) 1 

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Revisão/Ex 4:
(ITA-SP)
Estima-se que, em alguns bilhões de anos, o raio médio da órbita da Lua estará 50% maior do que é atualmente. Naquela época, seu período, que hoje é de 27,3 dias, seria:

a) 14,1 dias.
b) 18,2 dias. 
c) 27,3 dias.
d) 41,0 dias.
e) 50,2 dias.

Resolução: clique aqui

Revisão/Ex 5:
(UNICAMP)
A figura abaixo representa exageradamente a trajetória de um planeta em torno do Sol. O sentido do percurso é indicado pela seta. O ponto V marca o início do verão no hemisfério sul e o ponto I marca o início do inverno. O ponto P indica a maior aproximação do planeta ao Sol, o ponto A marca o maior afastamento. Os pontos V, I e o Sol são colineares, bem como os pontos P, A e o Sol. 


           
a) Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxima? Em que ponto essa velocidade é mínima? Justifique sua resposta.
b) Segundo Kepler, a linha que liga o planeta ao Sol percorre áreas iguais em tempos iguais. Coloque em ordem crescente os tempos necessários para realizar os seguintes percursos: VPI, PIA, IAV, AVP.

Resolução: clique aqui

domingo, 29 de novembro de 2015

Arte do Blog

Little Green Collage with Painting - 1959

Perle Fine
  
Perle Fine nasceu em 1905, em Boston, Massachusetts, EUA. Foi uma artista talentosa, de espírito independente, e que se expressou através da abstração em uma carreira que durou cinquenta anos. Ela começou a mostrar sua arte na década de 1940 e logo estava no centro do emergente movimento expressionista abstrato. Com a reputação em alta, Perle Fine participou de exposições coletivas na Art Gallery e no Museu da Pintura abstrata e, como artista solo, em várias galerias, incluindo os de Nierendorf, Betty Parsons, e Tanager. Perle Fine foi uma das poucas mulheres a se tornar membro do grupo intelectual que trafegava no centro do seleto mundo da arte, liderado por Franz Kline e Willem de Kooning, ambos seus amigos.
  
 Figure Descending a Ladder - 1960

Perle Fine nasceu em Boston, em 1905. Seus pais eram russos e tinham emigrado há pouco. Perle Fine era uma de seis filhos e cresceu na cidade de Malden, em Massachusetts. Em 1920, antes de terminar o colegial, ela começou a estudar arte e se matriculou na Escola de Arte Prática, em Boston, onde teve aulas na ilustração e design gráfico. No final da década ela se mudou para Nova Iorque, continuando a sua formação na Escola de Arte Grand Central, sob a orientação de Pruett Carter.
 
Untitled - 1945

Em 1930, Perle Fine começou a frequentar a Art Students League. O professor Kimon Nicolaides viu nela um talento incomum e a incentivou a buscar uma abordagem acadêmica para modelar a figura. Na época, Paul Cézanne era o artista cujo trabalho mais a inspirava. Em 1930 ela se casou com Maurice Berezov, um colega que conheceu na Escola de Arte Grand Central. Nos anos da década de 1950 Perle Fine fez uso de colagem em suas pinturas, intercalando pedaços irregulares de papel, recortes de jornais e folhas de alumínio e de ouro entre as áreas brancas.

#8 Gridiron - 1960

De 1962 até 1973, Perle Fine atuou como professora de arte na Universidade Hofstra, em Hempstead, Long Island, onde uma retrospectiva de dez anos foi realizada em 1974, após sua aposentadoria do ensino. Perle Fine exibiu seu trabalho extensivamente em mostras individuais e coletivas. Após sua morte ela foi apresentada em exposições individuais no Pollock-Krasner House e no Centro de Estudos, East Hampton, em Nova Iorque (2005) e novamente na Hofstra, em 2009.

Perle Fine morreu em 1988, em East Hampton, New York, EUA.

A Moment Timeless - 1954

Clique aqui

sábado, 28 de novembro de 2015

Especial de Sábado

Ganhadores do Premio Nobel de Física

Borges e Nicolau
x
1923
Robert Andrews Millikan, "pela medida da carga elétrica do elétron e pelos trabalhos sobre o efeito fotoelétrico".

iRobert Andrews Millikan (1868-1953), físico estadunidense
x
Robert Andrews Millikan foi distinguido com o premio Nobel de Física, em 1923, pelos seus trabalhos sobre o efeito fotoelétrico e pela determinação da carga elétrica do elétron, utilizando a experiência da gota de óleo: com um atomizador, pequenas gotas de óleo são introduzidas entre as placas horizontais de um capacitor plano. Mediante uma ampola de raios X ioniza-se o ar existente entre as placas. O ar ionizado contém elétrons que se agregam às gotículas de óleo. Analisando as gotas que se movimentam com velocidade constante e impondo que a resultante das forças (elétrica, gravitacional, empuxo e resistência viscosa) é nula, determina-se a carga elétrica de cada gota de óleo. Repetindo-se a experiência para um grande número de gotas, Millikan encontrou valores múltiplos inteiros de 1,6.10-19 C, que é a carga elétrica elementar.
(Na obra “Os fundamentos da Física” Volume 3, 9ª edição, página 253 ou Volume 3, 10ª edição, página 273 está descrita, detalhadamente, a experiência de Millikan).

 

Saiba mais. Clique aqui, aqui e aqui

Próximo Sábado: Ganhador do Premio Nobel de 1924:

Karl Manne Georg Siegbahn, por suas pesquisas em espectroscopia de raios X.

sexta-feira, 27 de novembro de 2015

Unicamp 2016 - Resolução

Primeira fase - Provas Q e Z

51
Drones são veículos voadores não tripulados, controlados remotamente e guiados por GPS. Uma de suas potenciais aplicações é reduzir o tempo da prestação de primeiro socorros, levando pequenos equipamentos e instruções ao local do socorro, para que qualquer pessoa administre os primeiros cuidados até a chegada de uma ambulância.
Considere um caso em que o drone ambulância se deslocou 9 km em 5 minutos. Nesse caso, o módulo de sua velocidade média é de aproximadamente


a) 1,4 m/s.
b) 30 m/s.
c) 45 m/s.
d) 140 m/s.


Resolução:


vm = Δs/Δt = 9000m/(5.60)s => vm = 30 m/s

Resposta: b


52
A demanda por trens de alta velocidade tem crescido em todo mundo. Uma preocupação importante no projeto desses trens é o conforto dos passageiros durante a aceleração. Sendo assim, considere que, em uma viagem de trem de alta velocidade, a aceleração experimentada pelos passageiros foi limitada 

a amax = 0,09 g, onde g = 10 m/s2 é a aceleração da gravidade. Se o trem acelera a partir do repouso com aceleração constante igual a amax, a distância mínima percorrida pelo trem para atingir uma velocidade de 1080 km/h corresponde a

a) 10 km.
b) 20 km.
c) 50 km.
d) 100 km.


Resolução:


Vamos aplicar a equação de Torricelli:


v2 = (v0)2 + 2.amax.Δs => (1080/3,6)2 = 0 + 2.0,09.10.Δs =>
Δs = 50.000 m = 50 km

Resposta: c


53
Um isolamento térmico eficiente é um constante desafio a ser superado para que o homem possa viver em condições extremas de temperatura. Para isso, o   entendimento completo dos mecanismos de troca de calor é imprescindível.
Em cada uma das situações descritas a seguir, você deve reconhecer o processo de troca de calor envolvido.


I. As prateleiras de uma geladeira doméstica são grades vazadas, para facilitar o fluxo de energia térmica até o congelador por […].
II. O único processo de troca de calor que pode ocorrer no vácuo é por […].
III. Em uma garrafa térmica, é mantido vácuo entre as paredes duplas de vidro para evitar que o calor saia ou entre por […].


Na ordem, os processos de troca de calor utilizados para preencher as lacunas corretamente são:


a) condução, convecção e radiação.
b) condução, radiação e convecção.
c) convecção, condução e radiação.
d) convecção, radiação e condução.


Resolução:


(I) As prateleiras de uma geladeira doméstica são grades vazadas, para facilitar o fluxo de energia térmica até o congelador por convecção. Ar frio, mais denso, desce e o ar mais quente, menos denso, sobe.
(II) O único processo de troca de calor que pode ocorrer no vácuo é por radiação: o calor se propaga através de ondas eletromagnéticas.
(III) Em uma garrafa térmica, é mantido vácuo entre as paredes duplas de vidro para evitar que o calor saia ou entre por condução. A transmissão de calor por condução necessita de um meio material para se propagar.


Resposta: d


54
Músculos artificiais feitos de nanotubos de carbono embebidos em cera de parafina podem suportar até 200 vezes mais peso que um músculo natural do mesmo tamanho. Considere uma fibra de músculo artificial de 1 mm de comprimento, suspensa verticalmente por uma de suas extremidades e com uma massa de 50 gramas pendurada, em repouso, em sua extremidade. O trabalho realizado pela fibra sobre a massa, ao se contrair 10%, erguendo a massa até uma nova posição de repouso, é


a) 5 × 10
-3 J.
b) 5 × 1
0-4 J.
c) 5 × 1
0-5 J.
d) 5 × 1
0-6 J.

Se necessário, utilize g = 10
m/s2.

Resolução:


Vamos aplicar o Teorema da Energia Cinética:


τresultante = ECfinal - ECinicial => τfibra + τpeso = 0 - 0 =>
τfibra - m.g.h = 0 => τfibra = m.g.h => τfibra = 50.10-3.10.0,10.1.10-3
τfibra = 5 × 10-5 J

Resposta: c


55
O Teatro de Luz Negra, típico da República Tcheca, é um tipo de representação cênica caracterizada pelo uso do cenário escuro com uma iluminação estratégica dos objetos exibidos. No entanto, o termo Luz Negra é fisicamente incoerente, pois a coloração negra é justamente a ausência de luz. A luz branca é a composição de luz com vários comprimentos de onda e a cor de um corpo é dada pelo comprimento de onda da luz que ele predominantemente reflete. Assim, um quadro que apresente as cores azul e branca quando iluminado pela luz solar, ao ser iluminado por uma luz monocromática de comprimento de onda correspondente à cor amarela, apresentará, respectivamente, uma coloração


a) amarela e branca.
b) negra e amarela.
c) azul e negra.
d) totalmente negra.


Resolução:


O quadro apresenta as cores azul e branca quando iluminado pela luz solar. Ao ser iluminado por uma luz monocromática amarela, a parte azul aparecerá negra, pois absorve a luz amarela e não reflete difusamente nenhuma cor. Já a parte branca aparecerá amarela, pois reflete qualquer cor nela incidente.


Resposta: b


56
Tempestades solares são causadas por um fluxo intenso de partículas de altas energias ejetadas pelo Sol durante erupções solares. Esses jatos de partículas podem transportar bilhões de toneladas de gás eletrizado em altas velocidades, que podem trazer riscos de danos aos satélites em torno da Terra. Considere que, em uma erupção solar em particular, um conjunto de partículas de massa total m
p = 5 kg, deslocando-se com velocidade de módulo vp = 2 x 105 m/s choca-se com um satélite de massa Ms = 95 kg que se desloca com velocidade de módulo igual a Vs = 4 x 103 m/s na mesma direção e em sentido contrário ao das partículas. Se a massa de partículas adere ao satélite após a colisão, o módulo da velocidade final do conjunto será de

a) 102.000 m/s.
b) 14.000 m/s.
c) 6.200 m/s.
d) 3.900 m/s.


Resolução:


Conservação da quantidade de movimento:


mp.vp + Ms.(-Vs) = (mp + Ms).V
5.2.105 + 95.(-4.103) = (5 + 95).V
V = 6200 m/s
 
Resposta: c


57
Muitos dispositivos de aquecimento usados em nosso cotidiano usam resistores elétricos como fonte de calor.
Um exemplo é o chuveiro elétrico, em que é possível escolher entre diferentes opções de potência usadas no aquecimento da água, por exemplo, morno (M), quente (Q) e muito quente (MQ). Considere um chuveiro que usa a associação de três resistores, iguais entre si, para oferecer essas três opções de temperatura. A escolha é feita por uma chave que liga a rede elétrica entre o ponto indicado pela letra N e um outro ponto indicado por M, Q ou MQ, de acordo com a opção de temperatura desejada.
O esquema que representa corretamente o circuito equivalente do chuveiro é



Resolução:

De  Pot = U
2/R, sendo U constante, concluímos que quanto menor o valor de R maior é a potência Pot e maior a temperatura atingida pela água. Assim, na alternativa a), fazendo a ligação à rede elétrica pelos pontos N e MQ, N e Q e N e M, temos respectivamente as resistências RN MQ < RNQ < RNM, correspondendo às potências Pot N MQ > PotNQ > PotNM, respectivamente: água muito quente, quente e morna.


Resposta: a

58
Um osciloscópio é um instrumento muito útil no estudo da variação temporal dos sinais elétricos em circuitos. No caso de um circuito de corrente alternada, a diferença de potencial (U) e a corrente do circuito (i) variam em função do tempo.
Considere um circuito com dois resistores R
1 e R2 em série, alimentados por uma fonte de tensão alternada. A diferença de potencial nos terminais de cada resistor observada na tela do osciloscópio é representada pelo gráfico abaixo.

           
Analisando o gráfico, pode-se afirmar que a amplitude e a frequência da onda que representa a diferença de potencial nos terminais do resistor de maior resistência são, respectivamente, iguais a


a) 4 V e 2,5 Hz.
b) 8 V e 2,6 Hz.
c) 4 V e 400 Hz.
d) 8 V e 400 Hz


Resolução:


Para a mesma intensidade de corrente, o resistor que está submetido à maior tensão é o de resistência
R1. Logo, sua resistência elétrica é maior: R1 > R2.
Do gráfico, concluímos que para
R1 a amplitude é de 8 V e o período é de 2,5 ms.
A frequência é o inverso do período:


f = 1/(2,5.10
-3s) = 400 Hz

Resposta: d


59
Anemômetros são instrumentos usados para medir a velocidade do vento. A sua construção mais conhecida é a proposta por Robinson em 1846, que consiste em um rotor com quatro conchas hemisféricas presas por hastes, conforme figura abaixo.


Em um anemômetro de Robinson ideal, a velocidade do vento é dada pela velocidade linear das conchas. Um anemômetro em que a distância entre as conchas e o centro de rotação é r = 25 cm, em um dia cuja velocidade do vento é v = 18 km/h, teria uma frequência de rotação de


a) 3 rpm.
b) 200 rpm.
c) 720 rpm.
d) 1200 rpm.


Se necessário, considere π = 3.


Resolução:


v = 2.π.f.R => (18/3,6)m/s = 2.3.f.(0,25)m => f = (5,0/1,5) Hz =>
f = (5,0/1,5).60rpm = 200 rpm
 
Resposta: b


60
Beisebol é um esporte que envolve o arremesso, com a mão, de uma bola de 140 g de massa na direção de outro jogador que irá rebatê-la com um taco sólido. Considere que, em um arremesso, o módulo do velocidade da bola chegou a 162 km/h, imediatamente após deixar a mão do arremessador. Sabendo que o tempo de contato entre a bola e a mão do jogador foi de 0,07 s, o módulo da força média aplicada na bola foi de


a) 324,0 N.
b) 90,0 N.
c) 6,3 N.
d) 11,3 N.


Resolução:


Vamos aplicar o Teorema do Impulso:


Iresultante = m.v - m.v0 => Iresultante = m.v - 0 => Fm.Δt = m.v =>
Fm.0,07 = 0,14kg.(162/3,6)m/s => Fm = 90 N
 
Resposta: b