Global Positioning System
(UNICAMP-SP)
O GPS (Global Positioning System) consiste em um conjunto de satélites que orbitam a Terra, cada um deles carregando a bordo um relógio atômico. A Teoria da Relatividade Geral prevê que, por conta da gravidade, os relógios atômicos do GPS adiantam com relação a relógios similares na Terra. Enquanto na Terra transcorre o tempo de um dia (tTerra = 1,0 dia = 86.400 s), no satélite o tempo transcorrido é tsatélite = tTerra + Δt , maior que um dia, e a diferença de tempo Δt tem que ser corrigida. A diferença de tempo causada pela gravidade é dada por
(Δt/tTerra) = (ΔU/mc2), sendo ΔU a diferença de energia potencial gravitacional de uma massa m entre a altitude considerada e a superfície da Terra, e c = 3,0.108 m/s, a velocidade da luz no vácuo.
a) Para o satélite podemos escrever ΔU = mgRT (1-RT/r), sendo r ≈ 4RT o raio da órbita, RT = 6,4.106 m o raio da Terra e g = 10 m/s2 a aceleração da gravidade na superfície terrestre. Quanto tempo o relógio do satélite adianta em tTerra = 1,0 dia em razão do efeito gravitacional?
b) Relógios atômicos em fase de desenvolvimento serão capazes de medir o tempo com precisão maior que uma parte em 1016, ou seja, terão erro menor que 10-16 s a cada segundo. Qual é a altura h que produziria uma diferença de tempo Δt = 10-16 s a cada tTerra = 1,0 s? Essa altura é a menor diferença de altitude que poderia ser percebida comparando medidas de tempo desses relógios. Use, nesse caso, a energia potencial gravitacional de um corpo na vizinhança da superfície terrestre.
Resolução:
a) Sendo ΔU = mgRT (1-RT/r), com r ≈ 4RT o raio da órbita, RT = 6,4.106 m o raio da Terra e g = 10 m/s2, vem:
(Δt/tTerra) = (ΔU/mc2) => (Δt/tTerra) = mgRT (1-RT/r)/mc2 =>
Δt/86400 = 10.6,4.106 (1-1/4)/(3,0.108)2 =>
Δt ≈ 4,6.10-5 s
b) (Δt/tTerra) = (ΔU/mc2) => 10-16 = m.g.h/mc2 => 10-16 = 10.h/(3,0.108)2 =>
h = 0,9 m
Respostas: a) Δt ≈ 4,6.10-5 s; b) h = 0,9 m
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