Caiu no vestibular

Olá pessoal. Vejam que belo exercício a Unicamp propôs. Tentem resolver e confiram a resposta no próximo sábado, dia 20 de junho.

Global Positioning System

(UNICAMP-SP)
O GPS (Global Positioning System) consiste em um conjunto de satélites que orbitam a Terra, cada um deles carregando a bordo um relógio atômico. A Teoria da Relatividade Geral prevê que, por conta da gravidade, os relógios atômicos do GPS adiantam com relação a relógios similares na Terra. Enquanto na Terra transcorre o tempo de um dia (t_Terra = 1,0 dia =  86.400 s), no satélite o tempo transcorrido é t_satélite = t_Terra + Δt , maior que um dia, e a diferença de tempo Δt tem que ser corrigida. A diferença de tempo causada pela gravidade é dada por
(Δt/t_Terra) = (ΔU/mc²), sendo ΔU a diferença de energia potencial gravitacional de uma massa m entre a altitude considerada e a superfície da Terra, e c = 3,0.10⁸ m/s, a velocidade da luz no vácuo.

a) Para o satélite podemos escrever ΔU = mgR_T (1-R_T/r), sendo r ≈ 4R_T o raio da órbita, R_T = 6,4.10⁶ m o raio da Terra e g = 10 m/s² a aceleração da gravidade na superfície terrestre. Quanto tempo o relógio do satélite adianta em t_Terra = 1,0 dia em razão do efeito gravitacional?

b) Relógios atômicos em fase de desenvolvimento serão capazes de medir o tempo com precisão maior que uma parte em 10¹⁶, ou seja, terão erro menor que 10^-16 s a cada segundo. Qual é a altura h que produziria uma diferença de tempo Δt = 10^-16 s a cada t_Terra = 1,0 s? Essa altura é a menor diferença de altitude que poderia ser percebida comparando medidas de tempo desses relógios. Use, nesse caso, a energia potencial gravitacional de um corpo na vizinhança da superfície terrestre.