Termologia, Óptica e Ondas - Aula 39

39° aula - (última aula do 2º semestre)

Cordas vibrantes / Tubos sonoros

Borges e Nicolau

As cordas vibrantes

Ao percutirmos a corda tensa de um violão as ondas transversais produzidas refletem-se nas extremidades e superpõem-se ao longo da corda, formando ondas estacionárias. Com a vibração da corda, o ar em suas vizinhanças também vibra  originando ondas sonoras. A frequência do som emitido é igual à frequência de vibração da corda.

O modo  mais simples de a corda vibrar corresponde a um nó em cada extremidade  e entre eles um único ventre. É o chamado modo fundamental ou primeiro harmônico. Nesta situação a frequência de vibração é denominada frequência fundamental ou frequência do primeiro harmônico. Indicando por n o número de ventres, temos neste caso n = 1.

Sendo L ao comprimento da corda, obtemos:

Seja v a velocidade das ondas que se propagam na corda e que originam as ondas estacionárias. A frequência fundamental será: 

Obtemos o segundo modo de vibração acrescentando mais um nó e mais um ventre (total, dois ventres: n = 2). Temos assim o segundo harmônico.

Neste caso, temos:

A frequência do segundo harmônico será:

Para o harmônico de ordem n, isto é para n ventres, teremos:

 (n = 1, 2, 3, 4, 5...)

   
Recordando: Velocidade de propagação de uma onda transversal numa corda tensa

Considere uma corda de massa m e comprimento L e sob ação de uma  força de tração de intensidade F.
Densidade linear da corda é a grandeza μ definida pela relação entre a massa m da corda e o seu comprimento L:

A velocidade de propagação da onda na corda é dada por:

Os tubos sonoros

Os tubos sonoros podem ser abertos ou fechados

Pela embocadura o ar soprado adequadamente produz vibração no interior do tubo, a qual se propaga e se reflete nas extremidades originando a formação de ondas estacionárias.
A embocadura de um tubo sonoro é sempre um ventre. A outra extremidade é um ventre de vibração se o tubo for aberto e um nó se o tubo for fechado. Vamos analisar as duas situações: 

Tubo sonoro aberto

Seja n o número de nós. Para n = 1, temos o modo mais simples de vibração É o chamado modo fundamental ou primeiro harmônico. Corresponde a um ventre em cada extremidade  e entre eles um único nó. Nesta situação a frequência de vibração é denominada frequência fundamental ou frequência do primeiro harmônico.

Sendo L o comprimento do tubo:

Para n = 2 (dois nós entre as extremidades), temos o segundo harmônico.

Nesta situação:

A frequência do segundo harmônico será:

Para o harmônico de ordem n (n nós), teremos:

 (n = 1, 2, 3, 4...)

Tubo sonoro fechado

No tubo sonoro fechado temos sempre um ventre na embocadura e um nó na outra extremidade. Na figura representamos o modo mais simples de vibração, constituindo o modo fundamental ou primeiro harmônico.  Indicando por n o número de ventres que é igual ao número de nós, temos neste caso n = 1.

A frequência de vibração é a frequência fundamental ou frequência do primeiro harmônico.

Assim, temos:

O segundo modo de vibração do tubo sonoro fechado corresponde a n = 2: dois ventres e dois nós:

Adicionar legenda

A frequência desse segundo modo de vibração é igual ao triplo da frequência fundamental, tratando-se, portanto do terceiro harmônico. Assim, para n = 3 teremos o quinto harmônico (2 x 3 - 1); para n = 4, o sétimo harmônico
(2 x 4 - 1). Portanto, o tubo fechado só emite harmônicos de ordem ímpar.

Desse modo, para n nós ou n ventres temos o harmônico de ordem 2n - 1. Neste caso geral, podemos escrever:

        

n = 1 => 2n - 1 = 1

n = 2 => 2n - 1 = 3

n = 3 => 2n - 1 = 5

n = 4 => 2n - 1 = 7

Exercícios básicos

Exercício 1:
Ondas estacionárias são produzidas numa corda tensa. Sabendo–se que o primeiro harmônico corresponde à corda vibrando com um ventre (n = 1), o segundo harmônico corresponde à corda vibrando com dois ventres (n = 2), represente a corda vibrando no terceiro e no quarto harmônicos e calcule, em cada caso, a frequência de vibração da corda, em função de L e de v.

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Exercício 2:
Uma corda de com 40 cm de comprimento e 10 gramas de massa, está tracionada por uma força de intensidade 360 N.
a) Qual é a velocidade das ondas que se propagam na corda e que produzem as ondas estacionárias? 
b) Qual a frequência fundamental emitida?

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Exercício 3:
Ondas estacionárias são produzidas num tubo sonoro aberto. Sabendo–se que o primeiro harmônico corresponde ao tubo vibrando com um nó (n = 1), o segundo harmônico corresponde ao tubo vibrando com dois nós (n = 2), represente o tubo vibrando no terceiro harmônico (n = 3) e calcule a frequência de vibração do tubo, em função de L e de v.

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Exercício 4:
Ondas estacionárias são produzidas num tubo sonoro fechado. Sabendo–se que o primeiro harmônico corresponde ao tubo vibrando com um nó e um ventre (n = 1), o terceiro harmônico corresponde ao tubo vibrando com dois nós e dois ventres
(n = 2), represente o tubo vibrando no quinto harmônico (n = 3) e calcule frequência de vibração do tubo, em função de L e de v.

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Exercício 5:
Têm-se dois tubos sonoros, um aberto e outro fechado, que emitem a mesma frequência fundamental de 330 Hz. Sabendo-se que o som se propaga no ar com velocidade de 330 m/s, determine os comprimentos de cada tubo.

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Exercício 6:
Um tubo fechado tem comprimento igual a 50 cm. Ele emite um som de frequência fundamental igual a duas vezes a frequência fundamental do som emitido por um tubo aberto. Ambos são preenchido com ar. Qual é o comprimento do tubo aberto?

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Mecânica - Aula 39

39° aula - (última aula do 2º semestre)
Equilíbrio Estático de um corpo extenso

Borges e Nicolau

Uma barra homogênea de comprimento 4 m e de peso P = 12 N está apoiada nos pontos A e B, conforme a figura.

Vamos determinar as intensidades das forças F_A e F_B que os apoios exercem na barra. Na figura, a seguir, estão_Brepresentadas as forças que agem na barra. Note que o peso P está aplicado no centro geométrico da barra pois_Bela é homogênea.

Podemos impor que a força resultante é nula, ou seja:

F_A + F_B = P => F_A + F_B = 12 (1)

A condição força resultante nula deve ser imposta para que a barra não sofra translação. Entretanto, a barra pode girar. Tome, por exemplo, o ponto de apoio B como referência. A força FA tende a girar a barra em torno de B, no sentido horário e o peso P tende a girar a barra em torno de B, no sentido anti-horário.

A grandeza que mede a eficiência de uma força em produzir rotação chama-se momento e é dada pelo produto da intensidade da força pela distância do ponto considerado (no caso o ponto B) até a linha de ação da força. Para que a barra não gire impomos que o momento de F_A em torno de B (no sentido horário) deve ser igual ao momento de P em torno de B (no sentido anti-horário).

M_FA = M_P => F_A.d_A = P.d => F_A.3 = 12.1 => F_A = 4 N.
De (1) resulta: F_B = 8 N

Resumindo: para o equilíbrio de um corpo extenso devemos impor:

1º) Equilíbrio de Translação: 
Força resultante nula. Esta condição é imposta considerando a soma das intensidades das forças para cima igual à soma das  intensidades das forças para baixo. E a soma das intensidades das forças para a direita igual à soma das intensidades das forças para a esquerda. 

2º) Equilíbrio de rotação: 
Neste caso, escolhemos um ponto e impomos que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário.

Animação:
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Exercícios básicos
 
Exercício 1:
a) Calcule o momento da força F de intensidade 10 N, em relação ao ponto A?
b) Explique por que o momento da força f_A aplicada no ponto A, em relação a esse ponto, é nulo.

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Exercício 2:
Na figura uma barra homogênea apoiada num ponto A e presa pelo ponto B ao teto por um fio ideal, está em equilíbrio na posição horizontal. A barra tem peso P = 90 N.
a) Represente as forças que agem na barra.
b) Calcule as intensidades da força de apoio e da força de tração no fio.

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Exercício 3:
Uma gangorra tem braços desiguais. No extremo A está sentado João de peso 500 N. Qual é o peso de Maria sentada no extremo B, para que a gangorra fique em equilíbrio na posição horizontal? Considere a gangorra articulada no ponto O e de peso desprezível.

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Exercício 4:
A barra homogênea da figura tem peso P = 120 N. A polia é ideal. Determine o peso do bloco e a intensidade da força que o apoio A exerce na barra, estando o sistema em equilíbrio.

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Exercício 5:
A barra homogênea de peso P = 30 N está_Aarticulada no ponto A. O fio DC é ideal e forma com a barra, na_Aposição horizontal, um ângulo de 30º. O bloco tem peso P_Bx=x10 N. Sendo sen 30º = 1/2 e cos 30º = √3/2, determine a intensidade_Ada força de tração no fio e as componentes X_A e Y_A da força que a articulação exerce na barra.

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Eletricidade - Aula 38 (continuação)

Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1:
(ITA–SP)
O diagrama mostra os níveis de energia (n) de um elétron em um certo átomo. Qual das transições mostradas na figura representa a emissão de um fóton com o menor comprimento de onda?

a) I b) II   c) III    d) IV   e) V

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Revisão/Ex 2:
(UFPE)
De acordo com o modelo de Bohr, os níveis de energia do átomo de hidrogênio são dados por E_n = -13,6/n², em eV. Qual a energia, em eV, de um fóton emitido quando o átomo efetua uma transição entre os estados com n = 2 e n = 1?

a) 13,6
b) 10,2
c) 5,6
d) 3,4
e) 1,6

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Revisão/Ex 3:
(AFA-SP)
O elétron do átomo de hidrogênio, ao passar do primeiro estado estacionário excitado, n = 2 para o estado fundamental n = 1, emite um fóton.
Tendo em vista o diagrama da figura abaixo, que apresenta, de maneira aproximada, os comprimentos de onda das diversas radiações, componentes do espectro eletromagnético, pode-se concluir que o comprimento de onda desse fóton emitido corresponde a uma radiação na região do(s)

a) raios gama
b) raios X
c) ultravioleta
d) infravermelho

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n
Desafio:

De acordo com o modelo de Bohr, os níveis de energia do átomo de hidrogênio são dados por E_n = -13,6/n², em eV.

a) Qual é a energia associada a cada nível de energia representado no esquema: nx=x1 (estado fundamental); n = 2 (1º estado excitado); n = 3 (2º estado excitado); nx=x4; n = 5; n = 6; n → ∞ (o átomo está ionizado, isto é, o elétron foi removido do átomo).
 
b) Em que transições apresentadas no esquema, o elétron absorve energia?
 
c) Das transições indicadas, calcule a de maior frequência que pode ser  emitida.
d) Qual é a mínima energia necessária para ionizar o átomo a partir do estado fundamental?

Dado: h = 4,14.10^-15 eV.s é a constante de Planck

A resolução será publicada no próximo sábado.

Resolução do desafio anterior:

Calcule o comprimento de onda de de Broglie nas duas situações descritas abaixo:

a) para um elétron, deslocando-se com velocidade 40 m/s.

b) para uma pessoa de massa 60 kg, deslocando-se com velocidade 40 m/s.

c) em vista dos resultados obtidos, explique por que não podemos observar efeitos ondulatórios para objetos em escala macroscópica.
 
Dados: 
constante de Planck: h = 6,63.10^-34 J.s; 
massa do elétron: me = 9,1.10^-31 kg.

Resolução:

a) λ_e = h/(m.v) => λ_e = 6,63.10^-34 /(9,1.10^-31.40) => λ_e ≅ 1,8.10^-5 m

b) λ_p = h/(m.v) => λ_p = 6,63.10^-34 /(60.40) => λ_p ≅ 2,8.10^-36 m

c) O comprimento de onda associado à pessoa é muito menor do que qualquer abertura pela qual ela pudesse passar. Isso explica por que não podemos observar efeitos ondulatórios para objetos em escala macroscópica.

Termologia, Óptica e Ondas - Aula 38 (continuação)

Exercícios de Revisão

 
Revisão/Ex 1:
(PUC-MG)
Uma martelada é dada na extremidade de um trilho. Na outra extremidade, encontra-se uma pessoa que ouve dois sons separados por um intervalo de tempo de 0,18 s. O primeiro dos sons se propaga através do trilho com uma velocidade de 3400 m/s, e o segundo através do ar, com uma velocidade de 340 m/s. O comprimento do trilho em metros será de:

a) 340 m.
b) 68 m.
c) 168 m.
d) 170 m.

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Revisão/Ex 2:
(Fatec-SP)
Os morcegos são cegos. Para se guiarem eles emitem um som na faixa de frequências ultrassônicas que é refletido pelos objetos, no fenômeno conhecido como eco, e processado, permitindo a determinação da distância do objeto. Considerando que a velocidade do som no ar é de 340 m/s e sabendo que o intervalo temporal entre a emissão do grito e o seu retorno é de 1,0.10^-2 s, a distância na qual um objeto se encontra do morcego é de:

a) 3,4 m.
b) 34 m.
c) 17 m.
d) 1,7 m.
e) 340 m.

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Revisão/Ex 3:
(PUC-Campinas-SP)
Quando se ouve uma orquestra tocando uma sonata de Bach, consegue-se distinguir diversos instrumentos, mesmo que estejam tocando a mesma nota musical. A qualidade fisiológica do som que permite essa distinção é:

a) a altura.
b) a intensidade.
c) a potência.
d) a frequência.
e) o timbre.

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Revisão/Ex 4:
(UFRGS)
A menor intensidade de som que um ser humano pode ouvir é da ordem de 
10^-16 W/cm². Já a maior intensidade suportável (limiar da dor) situa-se em torno dex10^-3 W/cm². Usa-se uma unidade especial para expressar essa grande variação de intensidades percebidas pelo ouvido humano: o bel (B). O significado dessa unidade é o seguinte: dois sons diferem de 1 B quando a intensidade de um deles é 10 vezes maior (ou menor) que a do outro, diferem de 2 B quando essa intensidade é 100 vezes maior (ou menor) que a do outro, de 3 B quando ela é 1000 vezes maior (ou menor) que a do outro, e assim por diante. Na prática, usa-se o decibel (dB), que corresponde a 1/10 do bel. Quantas vezes maior é, então, a intensidade dos sons produzidos em concertos de rock (110 dB) quando comparada com a intensidade do som produzido por uma buzina de automóvel (90 dB)?

a) 1,22.
b) 10.
c) 20.
d) 100.
e) 200.

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Revisão/Ex 5:
(ITA-SP)
Uma banda de rock irradia uma certa potência em um nível de intensidade sonora igual a 70 decibéis. Para elevar esse nível a 120 decibéis, a potência irradiada deverá ser elevada de:

a) 71%.
b) 171%. 
c) 7100%.
d) 9999900%.
e) 10000000%.

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m
Desafio:
 
Quantas vezes maior é a intensidade dos sons produzidos em concertos de rock (110xdB) quando comparada com a intensidade do som produzido por uma buzina de automóvel (90 dB)?

A resolução será publicada na próxima sexta-feira

Resolução do desafio anterior:

Dois pulsos, A e B, são produzidos em uma corda esticada, que tem uma extremidade fixada numa parede, conforme mostra a figura. Os pulsos se propagam com velocidade de 20 m/s.

Responda:

a) que tipo de superposição ocorre, após o pulso A ter sofrido reflexão na parede: construtiva ou destrutiva?
b) qual é a velocidade do pulso A no instante da superposição?

Resolução:

a) como a extremidade é fixa, o pulso A sofre reflexão com inversão de fase. Ao se superpor ao pulso B, ocorre interferência destrutiva.
 
b) na reflexão a velocidade de propagação não se altera logo, a velocidade do pulso A, no instante da superposição, é de 20 m/s.

Respostas:
a) destrutiva; b) 20 m/s

Mecânica - Aula 38 (continuação)

Exercícios de Revisão

 
Revisão/Ex 1:
(UFAL)
Uma partícula A está sujeita a três forças colineares representadas na figura a seguir pelos vetores F₁, F₂ e F₃. Sendo F₁ = 10 N e F₂ = 7 N e estando a partícula em equilíbrio, a intensidade de F₃ deve ser, em N, igual a:

a) 3.
b) 7.
c) 10.
d) 13.
e) 17.

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Revisão/Ex 2:
(Fatec-SP)
Um corpo está sujeito a duas forças, F₁ e F₂. Dados sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80, uma terceira força F₃ é aplicada ao corpo e provoca o equilíbrio estático. Essa nova força F₃ é:

a) horizontal para a esquerda, de intensidade 30 N.
b) horizontal para a direita, de intensidade 30 N.
c) horizontal para a esquerda, de intensidade 24 N.
d) horizontal para a direita, de intensidade 18 N.
e) inclinada de θ para baixo, de intensidade 30 N.

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Revisão/Ex 3:
(Mackenzie-SP)
A figura representa uma esfera de peso P = 10 N, apoiada sobre uma superfície horizontal, presa à parede vertical por meio de um fio inextensível e de massa desprezível. Sendo F = 20 N, as intensidades de T e F_N são, respectivamente:
Dados: cos 30º = √3/2 e cos 60º = 1/2

a) 30 N e 0. 
b) 30 N e 20√3 N.
c) 20√3 N e 20√3 N.
d) 15√3 N e 20√3 N.

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Revisão/Ex 4:
(UFSCar-SP)
Uma massa de 2 kg está suspensa por cordas inextensíveis e de massas desprezíveis, conforme a figura a seguir. A intensidade da força de tração na corda horizontal é, em newtons, igual a: (Adote g = 9,8 m/s².)
Dados: cos 30º = √3/2 e cos 60º = 1/2

a) 39,2/√3
b) 2,0/√3
c) 4,0/√3
d) 19,6/√3
e) 39,2

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Revisão/Ex 5:
(FEI-SP)
Na figura, o gancho A da parede vertical é arrancado quando sujeito a uma força maior que 1000 N; B resiste a uma força muitíssimo maior. O maior valor da massa m que se pode colocar no prato D sem arrancar o gancho A é de (em kg):
Dados: cos 30 = √3/2; cos 60 = 1/2 e g = 10 m/s²

a) 173,2.
b) 70,7.
c) 1000.
d) 57,7.
e) 100.

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v
Desafio:

O sistema da figura está em equilíbrio. Os fios são ideais. Determine as intensidades da forças de tração nos fios. O peso do bloco é P = 48 N.
Dados: sen 37° = 0,60 e sen 53° = 0,80.

A resolução será publicada na próxima quinta-feira.

Resolução do desafio anterior:

Três pequenas esferas, A, B e C, estão alinhadas conforme a figura. Suas massas são respectivamente 3m, 2m e m.

A força de atração gravitacional que A exerce em C tem intensidade F. A força de atração resultante da ação de A e B sobre C, tem intensidade:

a) F
b) 5F/3
c) 7F/3
d) 8F/3
e) 11F/3

Resolução:

Intensidade da força de A sobre C

F_AC = G.3m.m/(2d)² => F = G.3m²/4d² => 4F/3 = G.m²/d²

Intensidade da força de B sobre C

F_BC = G.2m.m/d² => F_BC = 2G.m²/d² => F_BC = 2.4F/3 => F_BC = 8F/3
Intensidade da força resultante de A e B sobre C

F_result = F_AC + F_BC = F + 8F/3 = 11F/3

Resposta: e