Termologia, Óptica e Ondas - Aula 39

39° aula - (última aula do 2º semestre)

Cordas vibrantes / Tubos sonoros

Borges e Nicolau

As cordas vibrantes

Ao percutirmos a corda tensa de um violão as ondas transversais produzidas refletem-se nas extremidades e superpõem-se ao longo da corda, formando ondas estacionárias. Com a vibração da corda, o ar em suas vizinhanças também vibra  originando ondas sonoras. A frequência do som emitido é igual à frequência de vibração da corda.

O modo  mais simples de a corda vibrar corresponde a um nó em cada extremidade  e entre eles um único ventre. É o chamado modo fundamental ou primeiro harmônico. Nesta situação a frequência de vibração é denominada frequência fundamental ou frequência do primeiro harmônico. Indicando por n o número de ventres, temos neste caso n = 1.

Sendo L ao comprimento da corda, obtemos:

Seja v a velocidade das ondas que se propagam na corda e que originam as ondas estacionárias. A frequência fundamental será: 

Obtemos o segundo modo de vibração acrescentando mais um nó e mais um ventre (total, dois ventres: n = 2). Temos assim o segundo harmônico.

Neste caso, temos:

A frequência do segundo harmônico será:

Para o harmônico de ordem n, isto é para n ventres, teremos:

 (n = 1, 2, 3, 4, 5...)

   
Recordando: Velocidade de propagação de uma onda transversal numa corda tensa

Considere uma corda de massa m e comprimento L e sob ação de uma  força de tração de intensidade F.
Densidade linear da corda é a grandeza μ definida pela relação entre a massa m da corda e o seu comprimento L:

A velocidade de propagação da onda na corda é dada por:

Os tubos sonoros

Os tubos sonoros podem ser abertos ou fechados

Pela embocadura o ar soprado adequadamente produz vibração no interior do tubo, a qual se propaga e se reflete nas extremidades originando a formação de ondas estacionárias.
A embocadura de um tubo sonoro é sempre um ventre. A outra extremidade é um ventre de vibração se o tubo for aberto e um nó se o tubo for fechado. Vamos analisar as duas situações: 

Tubo sonoro aberto

Seja n o número de nós. Para n = 1, temos o modo mais simples de vibração É o chamado modo fundamental ou primeiro harmônico. Corresponde a um ventre em cada extremidade  e entre eles um único nó. Nesta situação a frequência de vibração é denominada frequência fundamental ou frequência do primeiro harmônico.

Sendo L o comprimento do tubo:

Para n = 2 (dois nós entre as extremidades), temos o segundo harmônico.

Nesta situação:

A frequência do segundo harmônico será:

Para o harmônico de ordem n (n nós), teremos:

 (n = 1, 2, 3, 4...)

Tubo sonoro fechado

No tubo sonoro fechado temos sempre um ventre na embocadura e um nó na outra extremidade. Na figura representamos o modo mais simples de vibração, constituindo o modo fundamental ou primeiro harmônico.  Indicando por n o número de ventres que é igual ao número de nós, temos neste caso n = 1.

A frequência de vibração é a frequência fundamental ou frequência do primeiro harmônico.

Assim, temos:

O segundo modo de vibração do tubo sonoro fechado corresponde a n = 2: dois ventres e dois nós:

Adicionar legenda

A frequência desse segundo modo de vibração é igual ao triplo da frequência fundamental, tratando-se, portanto do terceiro harmônico. Assim, para n = 3 teremos o quinto harmônico (2 x 3 - 1); para n = 4, o sétimo harmônico
(2 x 4 - 1). Portanto, o tubo fechado só emite harmônicos de ordem ímpar.

Desse modo, para n nós ou n ventres temos o harmônico de ordem 2n - 1. Neste caso geral, podemos escrever:

        

n = 1 => 2n - 1 = 1

n = 2 => 2n - 1 = 3

n = 3 => 2n - 1 = 5

n = 4 => 2n - 1 = 7

Exercícios básicos

Exercício 1:
Ondas estacionárias são produzidas numa corda tensa. Sabendo–se que o primeiro harmônico corresponde à corda vibrando com um ventre (n = 1), o segundo harmônico corresponde à corda vibrando com dois ventres (n = 2), represente a corda vibrando no terceiro e no quarto harmônicos e calcule, em cada caso, a frequência de vibração da corda, em função de L e de v.

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Exercício 2:
Uma corda de com 40 cm de comprimento e 10 gramas de massa, está tracionada por uma força de intensidade 360 N.
a) Qual é a velocidade das ondas que se propagam na corda e que produzem as ondas estacionárias? 
b) Qual a frequência fundamental emitida?

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Exercício 3:
Ondas estacionárias são produzidas num tubo sonoro aberto. Sabendo–se que o primeiro harmônico corresponde ao tubo vibrando com um nó (n = 1), o segundo harmônico corresponde ao tubo vibrando com dois nós (n = 2), represente o tubo vibrando no terceiro harmônico (n = 3) e calcule a frequência de vibração do tubo, em função de L e de v.

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Exercício 4:
Ondas estacionárias são produzidas num tubo sonoro fechado. Sabendo–se que o primeiro harmônico corresponde ao tubo vibrando com um nó e um ventre (n = 1), o terceiro harmônico corresponde ao tubo vibrando com dois nós e dois ventres
(n = 2), represente o tubo vibrando no quinto harmônico (n = 3) e calcule frequência de vibração do tubo, em função de L e de v.

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Exercício 5:
Têm-se dois tubos sonoros, um aberto e outro fechado, que emitem a mesma frequência fundamental de 330 Hz. Sabendo-se que o som se propaga no ar com velocidade de 330 m/s, determine os comprimentos de cada tubo.

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Exercício 6:
Um tubo fechado tem comprimento igual a 50 cm. Ele emite um som de frequência fundamental igual a duas vezes a frequência fundamental do som emitido por um tubo aberto. Ambos são preenchido com ar. Qual é o comprimento do tubo aberto?

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