12ª aula
Vetores (II)
Borges e Nicolau
Lembrete:
A grandeza escalar fica perfeitamente definida quando dela se conhecem o valor numérico e a correspondente unidade (exemplos: volume, massa, temperatura, energia).
A grandeza vetorial, além do valor numérico e da unidade, necessita de direção e sentido para ser definida (exemplos: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento).
Vetor
É um ente matemático caracterizado por módulo, direção e sentido.
Produto de um número real por um vetor
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Componentes de um vetor
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Animações:
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Exercícios básicos
Notação vetorial em negrito.
Exercício 1:
É dado o vetor v. Represente os vetores 2v e -v
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Exercício 2:
No diagrama i e j são vetores de módulos unitários. Determine as expressões dos vetores a, b e c em função de i e j.
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Exercício 3:
No estudo da Física muitas vezes precisamos efetuar o produto de um número real por um vetor. É o caso do princípio fundamental da Dinâmica F = m.a, da definição de quantidade de movimento Q = m.v, da definição de impulso de uma força constante que age numa partícula durante um intervalo de tempo dada por I = F.Δt e da força eletrostática F = q.E.
Neste último caso, considere o vetor campo elétrico E, representado abaixo e cujo módulo é igual a 105 N/C. Represente as forças eletrostáticas FA e FB que agem nas partículas A e B, submetidas à ação do vetor campo elétrico E, nos casos
a) A carga elétrica de A é q = +2 μC
b) A carga elétrica de B é q = -3 μC
Neste último caso, considere o vetor campo elétrico E, representado abaixo e cujo módulo é igual a 105 N/C. Represente as forças eletrostáticas FA e FB que agem nas partículas A e B, submetidas à ação do vetor campo elétrico E, nos casos
a) A carga elétrica de A é q = +2 μC
b) A carga elétrica de B é q = -3 μC
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Exercício 4:
Seu Joaquim empurra um carrinho, por meio de uma barra de ferro, aplicando uma força F, de módulo F = 100 N, na direção da barra. Qual é o módulo da componente da força F na direção perpendicular ao solo?
Dados: sen θ = 0,6; cos θ = 0,8.
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Exercício 5:
Os vetores a e b, de módulos iguais a 10 unidades (10 u), estão representados na figura. Determine as componentes destes vetores em relação aos eixos Ox e Oy e as componentes do vetor soma (s = a + b).Dados: sen 30º = 0,50; cos 30º = 0,87
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Exercício 6:
Numa partícula agem três forças F1, F2 e F3, de mesmo módulo igual a 10 N.
a) Determine as componentes destas forças em relação aos eixos Ox e Oy.
b) As componentes da força F4 capaz de equilibrar o sistema constituído pelas três forças F1, F2 e F3.
Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8
x
a) Determine as componentes destas forças em relação aos eixos Ox e Oy.
b) As componentes da força F4 capaz de equilibrar o sistema constituído pelas três forças F1, F2 e F3.
Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8
x
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Revisão/Ex 1:
(UFU-MG)
A grandeza escalar é:
a) Impulso
b) Campo elétrico
c) aceleração da gravidade
d) trabalho
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Revisão/Ex 2:
(FSM-SP)
Assinale a alternativa errada. Dado o número real k e o vetor v então:
a) o vetor w = k.v tem o mesmo sentido de v, se k > 0.
b) o vetor w = k.v tem sentido contrário de v, se k < 0.
c) a direção de w = k.v é sempre igual à direção de v qualquer que seja o valor de k.
d) se a direção de w = k.v é diferente da direção de v, então k < 0.
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Revisão/Ex 3:
(ACAFE-SC)
O vetor A tem módulo igual a 40 unidades e forma um ângulo de 60º com o eixo x, no 2º quadrante, conforme é mostrado na figura abaixo.
Os componentes do vetor A no eixo x e no eixo y, respectivamente, são:
A) -20√3 e 20
B) 20 e 20√3
C) -20 e 20√3
D) 20√3 e -20
E) -20√3 e -20
Dados: sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2
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Revisão/Ex 4:
(UNIFESP-SP)
Na figura são dados os vetores a, b e c.
Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor d = a - b + c tem módulo
a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo.
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d) √2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido horário.
e) √2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido anti-horário.
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Revisão/Ex 5:
(UFLA-MG)
Os vetores a, b e c representados abaixo têm resultante nula.
Sabendo-se que o módulo do vetor b é igual a √6, podemos afirmar que os módulos de a e c valem, respectivamente:
a) 3 e (3√2 + √6)/2
b) √6/2 e 2√3
c) 3√2 e 3
d) 6 e 3
e) 3 e 3√2
Dados:
sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2
sen 45° = cos 45° = √2/2
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d
Desafio:
Os vetores a, b e c têm módulos iguais a 10 unidades.
Determine as componentes Rx e Ry do vetor soma R e calcule, a seguir o módulo do vetor soma R = a + b + c.
Dados: os vetores a e c são perpendiculares e sen37° = 0,6.
A resolução será publicada na próxima segunda-feira.
Resolução do desafio anterior:
Dois vetores, a e b, têm mesmo módulo igual a 20 unidades.
a) Quais os valores que o módulo do vetor soma pode assumir?
b) Qual o ângulo entre os vetores, sabendo-se que o vetor soma tem também módulo igual a 20 unidades?
a) O máximo valor do módulo do vetor soma vs corresponde a a e b na mesma direção e no mesmo sentido.
Assim, vs = a + b = (20+20) unidades = 40 unidades.
O mínimo valor do módulo do vetor soma vs corresponde a a e b na mesma direção e em sentidos opostos.
Assim, vs = a - b = (20-20) unidades = 0 unidades.
Portanto, vs varia de 0 a 40 unidades: 0 ≤ vs ≤ 40 unidades.
b) Seja θ o ângulo entre os vetores a e b (figura 1).
Na figura 2 obtemos o vetor soma vs e observamos que o triângulo formado é equilátero.
Na figura 3, realçamos que o ângulo θ entre os vetores a e b é de 120°: θ = 120°.
Respostas: a) 0 ≤ vs ≤ 40; b) 120°
