Cursos do Blog - Mecânica

8ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas

Borges e Nicolau

Quando um corpo descreve um movimento circular uniforme sua aceleração é centrípeta (a_cp), com intensidade dada por a_cp = v²/R , onde v é a velocidade escalar e R o raio da trajetória.

Pela segunda lei de Newton a resultante das forças que agem no corpo, chamada resultante centrípeta (F_cp = m. a_cp), é responsável pela trajetória circular que o corpo descreve. F_cp e a_cp têm direção perpendicular à velocidade vetorial do corpo, em cada instante e sentido para o centro da trajetória.

Exemplos:

1) Um pequeno bloco preso a um fio descreve em uma mesa, perfeitamente lisa, um movimento circular uniforme. As forças que agem no bloco são: o peso P, a força normal F_N e a força de tração T. O peso e a força normal se equilibram. A resultante é a força de tração. Ela é a resultante centrípeta.

2) Num pêndulo cônico uma pequena esfera, presa a um fio, descreve uma trajetória circular num plano horizontal. As forças que agem na esfera são: o peso P e a força de tração T. A resultante P + T é a resultante centrípeta.  

Se o movimento curvilíneo for variado a força resultante apresenta duas componentes, uma centrípeta (responsável pela variação da direção da velocidade) e outra tangencial (responsável pela variação do módulo da velocidade). Veja o exemplo: uma pequena esfera presa a um fio oscila num plano vertical (pêndulo simples). Observe a esfera ao passar pela posição C. As forças que nela agem são o peso P e a força de tração T. Vamos decompor o peso nas componentes P_t e P_n. O módulo da resultante centrípeta é T - P_n e o módulo da resultante tangencial é P_t.

Animações:
 
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Exercícios básicos

Exercício 1:
Um bloquinho de massa m = 0,4 kg preso a um fio, gira numa mesa horizontal perfeitamente lisa com velocidade escalar constante v = 2 m/s. O raio da trajetória é R = 20 cm. Qual é a intensidade da força de tração no fio suposto ideal?

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Exercício 2:
Um carro de 800 kg, deslocando-se  numa estrada, passa pelo ponto mais baixo de uma depressão com velocidade de 72 km/h, conforme indica a figura. Qual é a intensidade da força normal que a pista exerce no carro? É dado g = 10 m/s².

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Exercício 3:
Um carro de 800 kg, deslocando-se numa estrada, passa pelo ponto mais alto de  uma lombada com velocidade de 72 km/h, conforme indica a figura. Qual é a intensidade da força normal que a pista exerce no carro? É dado g = 10 m/s².

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Texto relativo às questões 4 e 5.

Uma pedra amarrada a um fio, considerado ideal, realiza um movimento circular num plano vertical. O raio da trajetória é R = 0,5 m.
A velocidade escalar da pedra ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória é v₁ e a força de tração no fio tem intensidade T₁.
No ponto mais alto a velocidade escalar é v₂ e força de tração no fio tem intensidade T₂.
A massa da pedra é m = 50 g e a aceleração da gravidadexgx= 10 m/s².

           
Exercício 4:
Sendo v₁ = 11 m/s, determine T₁.

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Exercício 5:
Sendo T₂ = 7,6 N, determine v₂. 

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1:
(Mackenzie-SP)
A figura representa a seção vertical de_Aum trecho de rodovia. Os raios de curvatura dos pontos A e B são iguais e o trecho_Aque contém o ponto C é horizontal. Um automóvel percorre a rodovia com_Avelocidade escalar constante. Sendo N_A, N_B e N_C  a reação normal da rodovia sobre o carro nos pontos A, B e C,_Arespectivamente, podemos dizer que:

a) N_B > N_A > N_C.
b) N_B > N_C > N_A.
c) N_C > N_B > N_A.
d) N_A > N_B > N_C.
e) N_A = N_C = N_B. 

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Revisão/Ex 2:
(UFMG)
Durante uma apresentação da Esquadrilha da Fumaça, um dos aviões descreve a trajetória circular representada nesta figura:

Ao passar pelo ponto MAIS baixo da trajetória, a força que o assento do avião exerce sobre o piloto tem intensidade:

a) igual ao peso do piloto.
b) maior que o peso do piloto.
c) menor que o peso do piloto.
d) nula.

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Revisão/Ex 3:
(PUC-Rio)
O trem rápido francês, conhecido como TGV (Train à Grande Vitesse), viaja de Paris para o Sul com uma velocidade média de cruzeiro v = 216 km/h. A aceleração experimentada pelos passageiros, por razões de conforto e segurança, está limitada a 0,05 g. Qual é, então, o menor raio que uma curva pode ter nesta ferrovia? (g = 10 m/ s²)

a) 7,2 km
b) 93 km
c) 72 km
d) 9,3 km
e) não existe raio mínimo

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Revisão/Ex 4:
(PUC-SP)
Um avião descreve, em seu movimento, uma trajetória circular, no plano vertical (loop), de raio R = 40 m, apresentando no ponto mais baixo de sua trajetória uma velocidade de 144 km/h.

Sabendo-se que o piloto do avião tem massa de 70 kg, a força de reação normal, aplicada pelo banco sobre o piloto, no ponto mais baixo, tem intensidade

a) 36988 N
b) 36288 N
c) 3500 N
d) 2800 N
e) 700 N

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Revisão/Ex 5:
(UFCE)
Um veículo de peso P = 1,6.10⁴ N percorre um trecho de estrada em lombada, com velocidade escalar constante de 72 km/h. A intensidade da força normal que o leito da estrada exerce no veículo quando ele passa no ponto mais alto da lombada, é de 8,0.10³ N. Parte da lombada confunde-se com um setor circular de raio R, como mostra a figura. Usando-se g = 10 m/s² determine em metros, o valor de R.

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Arte do Blog

Afternoon Pincian Hill

Maurice B Prendergast

Maurice Prendergast Brazil, ou Maurice B Prendergast, nasceu no dia 10 de outubro de 1858 em St. John, Newfoundland and Labrador, mas sua família se mudou para Boston quando ele era criança. Na juventude Maurice trabalhou como artista comercial pintando cartazes e fazendo ilustrações. Essa atividade o levou a apreciar planos de coloridos intensos e padronizados, característica de sua obra.
 

Bed of Flowers

Prendergast estudou em Paris entre os anos de 1891 e 1895, na Académie Colarossi, com Gustave Courtois e Jean-Joseph Benjamin-Constant e na Académie Julian. Durante sua estadia em Paris ele conheceu o pintor canadense James Morrice que o apresentou aos vanguardistas ingleses Walter Sickert e Aubrey Beardsley, admiradores fervorosos de James McNeill Whistler. A familiaridade com Édouard Vuillard e Pierre Bonnard colocou Prendergast no movimento pós-impressionista.

Central Park

Prendergast também estudou as obras de Vincent van Gogh e Georges Seurat em retrospectivas realizadas em Paris em 1891 e 1892. Pode-se também afirmar que ele foi um dos primeiros americanos a abraçar a obra de Paul Cézanne e de compreender e utilizar o seu uso expressivo da forma e da cor.

Children at the Beach

Maurice Prendergast Brazil morreu aos 65 anos, em 1924, e hoje figura na lista dos mais expressivos artistas americanos de seu tempo.

City Point Bridge

Saiba mais aqui

Preparando-se para o ENEM

Este texto refere-se às questões 1 e 2.

Ao ultrapassar a fronteira do sistema solar na quinta-feira, 12 de setembro de 2013, a Voyager 1 alcançou um novo marco na história da exploração do espaço. Lançada em 5 de setembro de 1977, a Voyager 1 tem 40 kilobytes de memória, 240 mil vezes menos que os 16 gigabytes ostentados pelo iPhone 5. Os computadores da nave são capazes de processar 8 mil instruções por segundo – coisa ínfima para a maioria dos smartphones, que em média lidam com 14 bilhões de instruções por segundo. O sistema de transmissão da Voyager 1 também parece um pouco obsoleto se visto com os olhos de hoje: para se comunicar com a Terra, é usado um emissor de 22,4 watts, o equivalente à energia de uma lâmpada de geladeira. Ao chegar aqui, entretanto, após 17 horas viajando na velocidade da luz, o sinal se reduz a 0,2 bilionésimo de watt. (Adaptado do Estadão -13/10/2013)

Questão 1:
Qual é a ordem de grandeza do número de bytes da memória da Voyager 1?

Resolução:

A memória da Voyager 1 tem 40 kilobytes = 40000 bytes = 4,0 x 10⁴ bytes.
A ordem de grandeza do número de bytes é, portanto, 10⁵, pois 4,0 é maior do que √10 = 3,16. Para saber mais, clique aqui.⁵

Resposta: 10⁵

Questão 2:
O sinal da Voyager 1 chega à Terra após 17 horas de viagem à velocidade da luz. Qual é a ordem de grandeza da distância Voyager1-Terra em quilômetros?

Resolução:

A luz percorre 300000 quilômetros por segundo, em 17 horas percorrerá:
d = 17.60.60(s).300000(km/s) => d = 18360000000 km¹
d = 1,8.10¹⁰ km. A ordem de grandeza de d, em km, é, 10¹⁰.

Resposta: 10¹⁰

O Pêndulo de Foucault

Até o ano de 1851, todas as informações a respeito do movimento de rotação da Terra eram obtida através de observações astronômicas, sobre o movimento das estrelas. Uma explicação antiga era que as estrelas estariam “presas” a um esfera que gira sobre a Terra, mas a aceitação de que a Terra não era o centro do universo derrubava esta hipótese.

O experimento de Foucault consiste em uma das maneiras mais simples e elegantes de se provar a rotação da Terra, que até hoje é admirada por sua simplicidade na forma de integração entre o ser humano e a natureza, sendo considerada por muitos físicos como um dos dez mais belos experimentos científicos.

O pêndulo de Foucault consiste em um dispositivo composto por uma massa m suspensa por um fio L, onde seu ponto de apoio é livre para girar.

A princípio, a expectativa era que o pêndulo oscilasse em um movimento retilíneo em um único plano vertical. No entanto, o que foi observado é que a oscilação do pêndulo parecia girar com o tempo, mudando sua direção em relação a esse plano considerado.

Mas, se não há nenhuma força atuando no pêndulo para que mude a direção da oscilação, por que o pêndulo gira? Na verdade, o pêndulo não gira. É o plano contido pela Terra que está girando! O plano de oscilação do pêndulo permanece constante. Nós, os observadores, temos a impressão de que o pêndulo gira, por que estamos “presos” à Terra. 

Saiba mais aqui.

Clique aqui para ver a animação do Pêndulo de Foucault

Questão 3: 
(FUVEST-SP)
O pêndulo de Foucault – popularizado pela famosa obra de Umberto Eco – consistia de uma esfera de 28 kg, pendurada na cúpula do Panthéon de Paris por um fio de 67 m de comprimento. Sabe-se que o período T de oscilação de um pêndulo simples é relacionado com seu comprimento L e com a aceleração da gravidade g pela seguinte expressão:

T = 2π√(L/g)

a) Qual o período de oscilação do pêndulo de Foucault? Despreze as frações de segundos.

b) O que aconteceria com o período desse pêndulo se dobrássemos sua massa?

(Adote g = 10 m/s² e √10 = π)

Resolução:

Da expressão do período do pêndulo simples T = 2π√(L/g), temos

a) T = 2π√(67/10)  =>  T = 2π√(67/√10) => T = 2π.(8/π) => T = 16 s

b) O período de oscilação de um pêndulo simples não depende da massa pendular, portanto, permaneceria o mesmo. 

Respostas: a) 16 s; b) O mesmo.

Questão 4: 

Leia com atenção:

O período de oscilação de um pêndulo simples depende do comprimento L do pêndulo e da aceleração da gravidade local. T = 2π√(L/g).

O período de oscilação de um sistema massa-mola depende das características da mola (k) e da massa (m) nela acoplada. T = 2π√(m/k).

(UFOP-MG)
Dois sistemas oscilantes, um bloco pendurado em uma mola vertical e um pêndulo simples, são preparados na Terra de tal forma que possuam o mesmo período.

Se os dois osciladores forem levados para a Estação Espacial Internacional (ISS), como se comportarão os seus períodos nesse ambiente de microgravidade?

a) Os períodos de ambos os osciladores se manterão os mesmos de quando estavam na Terra.

b) O período do bloco pendurado na mola não sofrerá alteração, já o período do pêndulo deixará de ser o mesmo.

c) O período do pêndulo será o mesmo, no entanto o período do bloco pendurado na mola será alterado.

d) Os períodos de ambos os osciladores sofrerão modificação em relação a quando estavam na Terra.

Resolução:

O período de oscilação do pêndulo será alterado, pois depende da aceleração da gravidade local e na Estação Espacial a gravidade é menor do que na superfície terrestre. Já o período de oscilação do bloco pendurado na mola permanecerá o mesmo, pois depende apenas da mola e da massa do bloco que permanecem constantes.

Resposta: b 

Questão 5: 
Uma partícula, de massa 200 g, está em repouso e fica sob ação de uma força de direção constante cuja intensidade varia com o tempo de acordo com o diagrama abaixo:

Determine:

a) O módulo da velocidade da partícula no instante 30 s.
b) O módulo da quantidade de movimento da partícula no instante 10 s.

Resolução:

a) Como a força tem direção constante e intensidade variável em função do tempo, a intensidade do impulso da força, num certo intervalo de tempo, é numericamente igual à área no diagrama F x t. Assim, no intervalo de 0 a 30 s temos:

I = (base.altura)/2 = (30.2)/2 => I = 30 N.s

Teorema do Impulso:

I = m.v₂ - m.v₁ => 30 = 0,2.v₂ – 0,2.0 => v₂ = 150 m/s

b) No intervalo de 0 a 10 s temos:

I = (base.altura)/2 = (10.2)/2 => I = 10 N.s

Teorema do Impulso:

I = Q₂ - Q₁ => 10 = Q₂ – 0 => Q₂ = 10 kg.m/s

Respostas: a) 150 m/s; b) 10 kg.m/s

Física Animada

Caiu no vestibular

Knock-Nevis, o maior petroleiro do mundo

Manobrando nos mares

(VUNESP)
Um grande navio petroleiro com velocidade de 15 m/s percorre aproximadamente 20xkm até conseguir parar. Supondo que durante a frenagem ele tenha percorrido uma trajetória retilínea com aceleração constante, pode-se afirmar que o tempo aproximado gasto nessa manobra, em minutos, é de

(A) 30.
(B) 45.
(C) 60.
(D) 75.
(E) 90.

Resolução:

Cálculo da aceleração escalar

Pela equação de Torricelli, temos:

v² = (v₀)² + 2.α.Δs => 0 = (15)² + 2.α.20000 => α = (15)²/40000 m/s²

Cálculo do tempo gasto na manobra:

v = v₀ + α.t => 0 = 15 - (15)²/40000.t => 
t = 40000/15 s = 40000/15.60 min ≅ 45 min

Resposta: b

Cursos do Blog - Eletricidade

7ª aula - 2º semestre
Circuito gerador-receptor-resistor

Borges e Nicolau

Uma bateria ligada a um motor elétrico e a uma lâmpada é um exemplo de circuito gerador-receptor-resistor.

Utilizando os símbolos que representam estes elementos, temos o circuito:

Gerador: força eletromotriz E e resistência interna r.

Receptor: força contra-eletromotriz E’ e resistência interna r’.

Resistor: resistência elétrica R

A corrente elétrica convencional tem, neste circuito, sentido horário: atravessa o gerador no sentido do polo negativo para o polo positivo. No receptor, tem o sentido do polo positivo para o polo negativo.

Sejam U, U₁ e U₂ as tensões elétricas entre os terminais do gerador, do receptor e do resistor, respectivamente. Podemos escrever:

U = U₁ + U₂ => E - r.i = E' + r'.i + R.i => E - E' = (r + r' + R).i

i = (E - E')/(r + r' + R)

Esta é a lei de Pouillet para o circuito simples gerador-receptor-resistor.

Exercícios básicos

  

Exercício 1:

Considere o circuito abaixo. Determine as leituras do amperímetro e do voltímetro, considerados ideais.

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Exercício 2:

Determine a intensidade da corrente que atravessa o circuito simples esquematizado abaixo. Ao lado do circuito são representadas as curvas características do gerador e do receptor.

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Exercício 3:

Considere o circuito abaixo. Qual dos elementos indicados é o gerador? Qual é o sentido da corrente elétrica que percorre o resistor de 3 Ω? De A para B ou de B para A? Qual é a tensão elétrica entre os terminais do resistor de 2 Ω?

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Exercício 4:

No circuito esquematizado, com a chave Ch aberta o amperímetro ideal indica uma corrente elétrica de 2 A. Determine o valor de E considerando-o menor do que 24 V. A seguir, fecha-se a chave Ch. Nestas condições, qual é a nova indicação do amperímetro?

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Exercício 5:

Observe o circuito. A chave Ch pode ocupar as posições 1 ou 2. Com a chave na posição 1 o amperímetro ideal indica 6 A. Qual é o valor da força eletromotriz E do gerador? Passa-se a chave para a posição 2. Qual é a nova intensidade da corrente elétrica que o amperímetro indica?

 

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1:
(PUC-Campinas)
Considere o circuito esquematizado a seguir constituído por três baterias, um resistor ôhmico, um amperímetro ideal e uma chave comutadora. Os valores característicos de cada elemento estão indicados no esquema.

As indicações do amperímetro conforme a chave estiver ligada em (1) ou em (2) será, em amperes, respectivamente,

a) 1,0 e 1,0  
b) 1,0 e 3,0  
c) 2,0 e 2,0  
d) 3,0 e 1,0  
e) 3,0 e 3,0   

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Revisão/Ex 2:
(UDESC)
O valor da intensidade de correntes (em A) no circuito a seguir é:

a)  1,50 
b)  0,62 
c)  1,03 
d)  0,50 
e)  0,30   

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Revisão/Ex 3:
(UFPE)  No circuito a seguir ε₂ = 12 V, R₁ = 8 Ω, R₂ = 4 Ω e R₃ = 2 Ω. De quantos volts deve ser a fonte de tensão ε₁, para que a corrente através da fonte de tensão ε₂ seja igual a zero?

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Revisão/Ex 4:
(CESGRANRIO)
No circuito esquematizado a seguir, tem-se um gerador G, que fornece 60 V sob corrente de 8,0 A, uma bateria com f.e.m. de 12 V e resistência interna de 
1,0 Ω, e um resistor variável R. Para que a bateria seja carregada com uma corrente de 8,0 A, deve-se ajustar o valor de R para:

a) 1,0 Ω
b) 2,0 Ω
c) 3,0 Ω
d) 4,0 Ω
e) 5,0 Ω

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Revisão/Ex 5:
(VUNESP)
O esquema a seguir representa duas pilhas ligadas em paralelo, com as resistências internas indicadas:

a) Qual o valor da corrente que circula pelas pilhas?
b) Qual é o valor da diferença de potencial entre os pontos A e B?
c) Qual das duas pilhas está se "descarregando"?
 
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7ª aula - 2º semestre
Construção de imagens nos espelhos esféricos

Borges e Nicolau

Para a construção da imagem de um pequeno objeto AB colocado diante de um espelho esférico de Gauss, achamos a imagem do extremo superior A, considerando dois raios de luz notáveis que partem de A e incidem no espelho. Desenhamos os correspondentes raios refletidos cuja interseção define a imagem A’. Sendo o objeto frontal com o extremo inferior no eixo principal, a imagem A’B’ é frontal com B’ também no eixo principal. Observe o caso de um objeto AB colocado diante de um espelho esférico côncavo, antes do centro de curvatura C: 

A imagem A’B’ é real (encontro efetivo de raios refletidos), invertida e menor do que o objeto.

Animações:

Espelho côncavo - Formação de imagens
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Espelho convexo - Formação de imagens
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Exercícios básicos

Exercício 1:
É dado um espelho esférico côncavo. C é o centro de curvatura, F o foco principal e V o vértice do espelho. Construa a imagem A’B’ do objeto AB nos casos indicados a baixo. Classifique a imagem obtida dizendo se é real ou virtual, direita ou invertida, maior, menor ou de mesma altura do objeto.

a) O objeto está sobre o centro de curvatura C.

 b) O objeto está entre C e F.

c) O objeto está sobre o foco principal F.

d) O objeto está entre F e V.

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Exercício 2:
É dado um espelho esférico convexo. C é o centro de curvatura, F o foco principal e V o vértice do espelho. Construa a imagem A’B’ do objeto AB e responda: a imagem é real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor do que o objeto?

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Exercício 3:
Você observa a imagem de seu rosto num espelho esférico convexo. Afastando-se o espelho de seu rosto, a imagem que você vê:

• Aumenta ou diminui de tamanho?
• É sempre invertida ou sempre direita?
• Afasta-se ou aproxima-se do espelho?

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Exercício 4:
Uma pequena lâmpada L é colocada em frente à superfície refletora de um espelho esférico convexo, de vértice V, foco principal F e centro de curvatura C. A imagem de L, formada pelo espelho, localiza-se em que ponto: A, B, D, E ou G?

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Exercício 5:
Num espelho esférico, toda imagem real de um objeto real é   ___________________. Toda imagem virtual de um objeto real é _________________. A imagem de um objeto real fornecida por um espelho esférico é virtual. Se esta  imagem for ______________ do que o objeto, o espelho é côncavo, Sendo _______________, é convexo.

As palavras que preenchem os espaços vazios no texto são:

a) direita, invertida, maior, menor.
b) invertida, direita, menor, maior.
c) invertida, direita, maior, menor.
d) direita, invertida, menor, maior.
e) invertida, invertida, menor, menor. 

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1:
(UFOP)
Considere um espelho esférico, de distância focal f e raio de curvatura R. Sejam ainda p e p’ as respectivas distâncias de um objeto e de sua imagem ao vértice do espelho. Assinale a afirmativa incorreta.

A) Se o espelho for côncavo e p for maior que R, a imagem é real.
B) Se o espelho for convexo e p for maior que R, a imagem é virtual.
C) Se o espelho for côncavo e p for menor que f, a imagem é menor que o objeto.
D) Se o espelho for convexo e p for menor que f, a imagem é menor que o objeto.

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Revisão/Ex 2:
(UFES)
Um objeto está sobre o eixo de um espelho esférico côncavo. A distância entre o objeto e o espelho é maior que o raio de curvatura do espelho. A imagem do objeto é:

a) real, não invertida, menor que o objeto;
b) real, invertida, maior que o objeto;
c) real, invertida, menor que o objeto;
d) virtual, não invertida, maior que o objeto;
e) virtual, invertida, menor que o objeto.

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Revisão/Ex 3:
(UFF)
Quando se coloca um espelho esférico côncavo a uma distância maior do que a distância focal, no caso de objetos reais, as imagens serão sempre:

a) reais e invertidas
b) reais e direitas
c) reais ou virtuais
d) virtuais e direitas
e) virtuais e invertidas

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Revisão/Ex 4:
(UESPI)
Quando você olha em um espelho esférico côncavo e vê seu rosto aumentado, pode-se dizer que, em relação ao espelho, o seu rosto se encontra:

a) mais afastado que o centro de curvatura do espelho.
b) exatamente no centro de curvatura do espelho.
c) entre o centro de curvatura e o foco do espelho.
d) exatamente no foco do espelho.
e) entre o foco e o espelho.

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Revisão/Ex 5:
(UNESP)
Um estudante compra um espelho retrovisor esférico convexo para sua bicicleta. Se ele observar a imagem de seu rosto conjugada com esse espelho, vai notar que ela é sempre:

a) direita, menor que o seu rosto e situada na superfície do espelho.
b) invertida, menor que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho.
c) direita, menor que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho.
d) invertida, maior que o seu rosto e situada atrás na superfície do espelho.
e) direita, maior que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho. 

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