Mecânica - Aula 35

Um garoto (m) sobre patins empurra sua namorada (M), também sobre patins; o garoto recua com v e a namorada adquire V.

35ª aula
Conservação da Quantidade de Movimento

Borges e Nicolau

Forças internas e forças externas

Considere um sistema de corpos. As forças que um corpo do sistema exerce em  outro do próprio sistema são chamadas forças internas. As forças que agem nos corpos do sistema e que provém de outros corpos não pertencentes ao sistema são chamadas forças externas.

Sistema isolado

Um sistema de corpos é chamado isolado quando:

• Não agem forças externas.
• Agem forças externas, mas a resultante é nula.
• As forças internas são muito intensas de modo que as forças externas podem ser desprezadas. É o que ocorre numa explosão, num choque entre duas bolas de bilhar, por exemplo.

Conservação da Quantidade de Movimento

Considere um sistema de corpos isolado. Se a resultante das forças externas é nula, decorre que seu impulso é nulo e pelo Teorema do Impulso, a quantidade de movimento inicial é igual à quantidade de movimento final. Isto é: a quantidade de movimento se conserva.

I = Q₂ – Q₁ => Sendo I = 0, resulta: Q₂ = Q₁

Observação: De acordo com o princípio da ação e reação os impulsos das forças internas ao sistema de corpos se anulam.

Exemplos:

1º) Um bloco de massa m está em repouso. Num certo instante ele explode em duas partes A e B de massa m/3 e 2m/3,  respectivamente. Sendo v_A = 20 m/s o módulo da velocidade de A, imediatamente após a explosão, vamos calcular o módulo da velocidade que B adquire, imediatamente após a explosão.

A quantidade de movimento  do bloco, imediatamente antes da explosão, é igual à quantidade de movimento imediatamente depois. 

Q₁ = Q₂

      (antes)   (depois)     

Estando inicialmente em repouso, temos Q₁ = 0.
Portanto, Q₂ = Q_A+ Q_B = 0 => m_A.v_A + m_B.v_B = 0 => m_A.v_A = -m_B.v_B:
as partes A e B têm quantidades de movimentos de mesma direção, sentidos opostos e módulos iguais:
m_A.v_A = m_B.v_B => (m/3).20 = (2m/3).v_B => v_B = 10 m/s.

2º) Um bloco de massa m está movimento retilíneo e uniforme com velocidade  de módulo v = 16 m/s. Num certo instante ele explode em duas partes A e B de massa m/3 e 2m/3, respectivamente. Sendo v_A = 12 m/s o módulo da velocidade de A, imediatamente após a explosão e com mesmo sentido da velocidade do bloco, vamos calcular o módulo da velocidade que B adquire, imediatamente após a explosão. 

A quantidade de movimento do bloco, imediatamente antes da explosão, é igual à quantidade de movimento imediatamente depois.
                                  

Q₁ = Q₂

                                               (antes)   (depois)

     
  
Como os vetores têm a mesma direção, a igualdade vetorial se transforma numa igualdade escalar:

m.v = m_A.v_A + m_B.v_B

m.16 = (m/3).12 + (2m/3).v_B

v_B = 18 m/s

Tipos de Choque

Uma esfera desloca-se com velocidade de módulo v_A e colide frontalmente com outra esfera B, que se desloca com velocidade de módulo v_B, conforme indica a figura. Sejam V_A e V_B as velocidades das esferas imediatamente após o choque.

Define-se coeficiente de restituição a grandeza e dada por:

e = velocidade relativa de afastamento / velocidade relativa de aproximação ou seja:

e = (V_B – V_A)/(v_A – v_B)

De acordo com o valor de e temos três tipos de choques:

e = 1 : choque perfeitamente elástico.
0 < e < 1: choque parcialmente elástico.
e = 0: choque perfeitamente inelástico.

Nos choques perfeitamente elásticos a energia cinética se conserva, o que não ocorre nos choques parcialmente elástico e perfeitamente inelástico.

Exercício básicos
 
Exercício 1:
Um menino está sobre um skate segurando uma bola. A massa do menino mais o skate é de 50 kg e a massa da bola é de 500 g. O sistema está em repouso. O menino lança a bola horizontalmente com velocidade de módulo 10 m/s. Qual é o módulo da velocidade com que o menino e o skate se deslocam em sentido contrário ao da bola? 

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Exercício 2:
Um bloco A desloca-se horizontalmente, com velocidade de módulo v = 12 m/s, colidindo com outro bloco B, inicialmente em repouso. Após a colisão os blocos adquirem velocidades de módulos v_A = 8,0 m/s e v_B, respectivamente. Determine v_B, sabendo-se que os blocos têm massas iguais.

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Exercício 3:
Um carrinho de massa m desloca-se com velocidade v e colide com outro idêntico, que se encontra em repouso. Após o choque os carrinhos seguem unidos com velocidade V.
a) Qual é a relação entre v e V.
b) Qual é a relação entre as energias cinéticas do sistema imediatamente antes e imediatamente depois do choque?

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Exercício 4:
O carrinho de massa m desloca-se com velocidade v e colide, num cruzamento P, com outro carrinho de massa 2 m e que também se desloca com velocidade v. Após a colisão os carrinhos seguem unidos com velocidade V.
a) Qual é a possível trajetória dos carrinhos entre as indicadas na figura? A, B, C, D ou E?
b) Qual é o valor de V em função de v?

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Exercício 5:
Uma esfera de massa m desloca-se com velocidade v_A e colide frontal e elasticamente com outra esfera B, de mesma massa m e que está inicialmente em repouso, conforme indica a figura. Sejam V_A e V_B as velocidades das esferas imediatamente após o choque.

Prove que neste caso ocorre troca de velocidades, isto é,
V_B = v_A e V_A = 0.

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Nota: As notações de velocidade (v), impulso (I) e quantidade de movimento (Q), em negrito, representam grandezas vetoriais.