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 d: vetor deslocamento
 Fonte: Física – Vereda Digital – Editora Moderna (trecho de um guia de rua da cidade de Natal)

13ª aula
Cinemática vetorial (I)

Borges e Nicolau

Vetor deslocamento

Vetor deslocamento (d) de um ponto material entre os instantes t₁ e t₂ é o vetor representado por um segmento orientado de origem em P₁ (posição do ponto material no instante t₁) e extremidade em P₂ (posição do ponto material no instante t₂).

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Velocidade vetorial média (v_m)

É o quociente entre o vetor d e o correspondente intervalo de tempo Δt.

v_m tem a mesma direção e o mesmo sentido de d.

Velocidade vetorial instantânea

A velocidade vetorial (v) de um móvel no instante t tem as características:

Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar no instante t.

Direção: da reta tangente à trajetória pelo ponto P (posição que o móvel ocupa no instante t).

Sentido: do movimento.

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Animação:

Velocidade vetorial

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Exercícios básicos

Exercício 1:
Num bairro planejado os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas, distando
100 m uma da outra. Seu Joaquim, parte de sua casa A e após percorrer algumas travessas, conforme o esquema, chega ao local de seu trabalho B. Seu Joaquim sai às 7h da manhã de A e chega em B às 7h 8min 20s. Determine:

a) A distância total percorrida por seu Joaquim e o módulo do vetor deslocamento d desde o ponto de partida (A) até o de chegada (B).
b) O módulo da velocidade escalar média v_m e o módulo da velocidade vetorial média Iv_mI.

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Exercício 2:
Um aluno sai de sua casa para ir ao colégio e se desloca, sucessivamente, 100 m de Sul para Norte, 80 m de Oeste para Leste e 40 m de Norte para Sul, chegando à escola.

a) Represente os sucessivos deslocamentos do aluno e o deslocamento vetorial d desde o ponto de partida até o de chegada.
b) Qual o módulo de d?
c) Calcule o módulo da velocidade escalar média v_m e o módulo da velocidade vetorial média Iv_mI do aluno, sabendo-se que ele vai de sua casa ao colégio em 2,5 minutos.

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O texto a seguir refere-se às questões 3, 4 e 5

Um ciclista descreve um movimento circular uniforme, no sentido horário. No instante t₁ = 10 s o ciclista passa pelo ponto A e no instante
t₂ = 30 s, pelo ponto B. O raio da trajetória é de 100 m. Adote π = 3 e √2 = 1,4.

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Exercício 3:
O módulo da variação de espaço Δs e o módulo do vetor deslocamento d entre as posições A e B são, respectivamente:
 
a) 600 m e 560 m
b) 300 m e 280 m
c) 150 m e 140 m
d) 75 m e 70 m
e) 60 m e 30 m
 
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Exercício 4:
Entre as posições A e B, a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média têm módulos, respectivamente, iguais a;
 
a) 15 m/s e 14 m/s
b) 7,5 m/s e 7 m/s
c) 6m/s e 5 m/s
d) 5 m/s e 4 m/s
e) 5 m/s e 5 m/s

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Exercício 5:
A velocidade vetorial do ciclista no instante em que passa pela posição C está representada na alternativa:

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Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(Unisinos-RS)
Numa pista atlética retangular de lados a = 160 m e b = 60 m, um atleta corre com velocidade escalar constante v = 5,0 m/s, no sentido horário, conforme mostrado na figura. Em t = 0 s, o atleta encontra-se no ponto A.
Em relação ao ponto A, o vetor que define a posição do atleta, após 60 s do início da corrida, tem módulo igual a:

a) 100 m.
b) 220 m.
c) 300 m.
d) 1,00.10⁴ m.
e) 1,80.10⁴ m.

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Revisão/Ex 2:
(PUC-RS)
As informações a seguir referem-se a um movimento retilíneo realizado por um objeto qualquer.

I. A velocidade vetorial pode mudar de sentido.
II. A velocidade vetorial tem sempre módulo constante.
III. A velocidade vetorial tem direção constante.

A alternativa que representa corretamente o movimento retilíneo é:

a) I, II e III.
b) Somente III.
c) Somente II.
d) Somente II e III.
e) Somente I e III.

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Revisão/Ex 3:
(UEPB)
De acordo com os conceitos estudados em Cinemática, complete adequadamente a coluna da direita com os itens da esquerda:

(1) Movimento retilíneo e uniforme.   (2) Velocidade vetorial de direção constante e módulo variável.
(2) Movimento retilíneo e uniformemente variado.   (2) Velocidade vetorial constante.
(3) Movimento circular e uniforme.   (2) Velocidade vetorial variável em direção e módulo.
(4) Movimento circular e uniformemente variado.   (2) Velocidade vetorial de módulo constante e direção variável.

Assinale a alternativa que corresponde à sequência correta da numeração:

a) 1, 2, 3, 4.
b) 2, 1, 4, 3.
c) 3, 4, 1, 2.
d) 1, 3, 4, 2.
e) 3, 4, 2, 1.

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Revisão/Ex 4:
(Unicamp-SP)
A figura a seguir representa um mapa da cidade de Vectoria, o qual indica a orientação das mãos do tráfego. Devido ao congestionamento, os veículos trafegam com velocidade escalar média de 18 km/h. Cada quadra desta cidade mede 200 m por 200 m (do centro de uma rua ao centro da outra rua). Uma ambulância localizada em A precisa pegar um doente localizado bem no meio da quadra em B, sem andar na contramão.

a) Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percurso de A para B?
b) Qual é o módulo do vetor velocidade média (em km/h) entre os pontos A e B?

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Revisão/Ex 5:
(PUC-SP)
Uma senhora sai de casa para fazer uma caminhada num circuito retangular cujos lados possuem 300 m e 400 m. Ela inicia a caminhada por uma das entradas do circuito que corresponde ao vértice do circuito.

Após completar 10,5 voltas, podemos dizer que a distância percorrida e o módulo do deslocamento vetorial foram, respectivamente, de

a) 14700 m e 700 m
b) 7350 m e 700 m
c) 700 m e 14700 m
d) 700 m e 7350 m
e) 14700 m e 500 m

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d
Desafio: 

Considere um sistema cartesiano xOy  

                                   
Um móvel parte da origem O, no instante t = 0, percorre 3,0 m sobre o eixo Ox e no sentido positivo do eixo. A seguir, percorre 4,0 m, numa trajetória paralela a Oy e no seu sentido positivo. Depois, caminha 6,0 m em trajetória paralela ao eixo Ox e no sentido negativo, atingindo um ponto A.

a) Represente a trajetória descrita pelo móvel de O até A.
b) Quais são as coordenadas x e y do ponto A?
c) Qual é o módulo do vetor deslocamento entre as posições O e A?
d) Sabendo-se que, em todos os trechos, a partícula descreve um movimento uniforme de velocidade escalar 6,5 m/s, calcule o módulo do vetor velocidade média entre as posições O e A.
e) Depois de 1,0 s da partida, a partícula atinge um ponto B de sua trajetória. Quais são as coordenadas x e y do ponto B?

Resolução do desafio anterior:

Os vetores a, b e c têm módulos iguais a 10 unidades.
Determine as componentes Rx e Ry do vetor soma R e calcule, a seguir o módulo do vetor soma R = a + b + c.
Dados: os vetores a e c são perpendiculares e sen37° = 0,6.

Sendo dado sen37° = 0,6, temos: cos53° = 0,6 (seno de um ângulo é o cosseno do ângulo complementar)

Da relação fundamental da Trigonometria, vem:

sen²37° + cos²37° = 1 => (0,6)² + cos²37° = 1 =>  
cos²37° = 0,64 => cos37° = 0,8 e sen53° = 0,8

R_x = a_x + b_x + c_x
R_x = -a.cos53° + 0 + c.cos37°
R_x = -10.0,6 + 0 + 10.0,8
R_x = 2 unidades

R_y = a_y + b_y + c_y
R_y = a.sen53° + 10 + c.sen37°
R_y = -10.0,8 + 10 + 10.0,6
R_y = 24 unidades

R = (R_x² + R_y²)^1/2 
R = (2² + 24²)^1/2
R = (4 + 576)^1/2
R ≅ 24,1 unidades

Resposta: R ≅ 24,1 unidades