Especial de Sábado

Olá pessoal. Com vocês a resolução de uma questão (ufa, trabalhosa!) do ITA. 

Capacitores em paralelo

ITA prova realizada em 12/12/2017
Dois capacitores em paralelo de igual capacitância C estão ligados a uma fonte cuja diferença de potencial é U. A seguir, com essa fonte desligada, introduz-se um dielétrico de constante dielétrica k num dos capacitores, ocupando todo o espaço entre suas placas.

Calcule:

a) a carga livre que flui de um capacitor para outro;
b) a nova diferença de potencial entre as placas dos capacitores;
c) a variação da energia total dos capacitores entre as duas situações.

Resolução:

a) Seja C a capacitância do capacitor antes da introdução do dielétrico. O capacitor preenchido com isolante de constante dielétrica k passa a ter capacitância Ck. Sendo k > 1 a capacitância do capacitor aumenta e na situação indicada na figura 2 a carga elétrica q passa para o capacitor no qual foi introduzido o dielétrico.

Na situação inicial (figura 1) a carga Q de cada capacitor é dada por: Q = C.U.
Na situação final (figura 2), temos: Q+q = Ck.U’ (1) e Q-q = C.U’ (2)

Fazendo (1)/(2):

(Q+q)/(Q-q) = k => Q+q = kQ-qk => q(k+1) = Q(k-1) => q = Q.(k-1)/(k+1) => Q = C.U.(k-1)/(k+1)

b) De (1) Q + Q.(k-1)/(k+1) = Ck.U’ =>
Q.[1+(k-1)/(k+1)] = Ck.U’ => Q.2k/(k+1) = Ck.U’ =>C.U.2k/(k+1) = Ck.U’ => U’ = 2U/(k+1)

c) Energia potencial eletrostática inicial dos capacitores:

E_i = C.U²/2 + C.U²/2 => E_i = C.U²
                               
Energia potencial eletrostática final dos capacitores:

E_f = Ck.(U')²/2 + C.(U')²/2 => E_f = C.[(k+1)/2].[4U²/(k+1)²] => 
E_f = 2CU²/(k+1)

ΔE = E_f - E_i = [2CU²/(k+1)] - CU² => ΔE = CU²[2/(k+1)]-1 =>
ΔE = -CU²(k-1)/(k+1)

Respostas: 
a) C.U.(k-1)/(k+1)
b) 2U/(k+1)
c) -CU²(k-1)/(k+1)