Especial de Sábado

Olá pessoal. Com vocês a resolução desta bela questão do IME. 

Lente convergente

(IME)

 

Uma lente convergente de distância focal f situa-se entre o objeto A e a tela T, como mostra a figura acima.

Sendo L a distância entre o objeto e a tela, considere as seguintes afirmativas:

I) Se L > 4f, existem duas posições da lente separadas por uma distância
√L(L-4f), para as quais é formada na tela uma imagem real.
II) Se L < 4f, existe apenas uma posição da lente para a qual é formada na tela uma imagem real.
III) Se L = 4f, existe apenas uma posição da lente para a qual é formada na tela uma imagem real.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)

a) I e II apenas
b) I e III apenas
c) II e III apenas
d) I, II e III
e) III, apenas
e) III, apenas

Resolução:

Seja p a distância do objeto à lente e p’ a distância da imagem à lente.

Podemos escrever: L = p + p’ e portanto: p’ = L – p. Da equação de Gauss, vem:

1/f = 1/p + 1/(L-p) => 1/f = (L-p+p)/p.(L-p) => p.L-p² = f.L =>

p² - p.L + f.L = 0

O discriminante desta equação do segundo grau é: Δ = L² - 4f.L

Para haver duas raízes reais e portanto duas posições da lente devemos impor: 

Δ = L² - 4f.L > 0 => L² > 4f.L => L > 4f 

As duas posições possíveis da lente são:

p₁ = (L + √Δ)/2 e p₂ = (L - √Δ)/2
                                     
A distância d entre as duas posições é dada por:

d = p₁ - p₂ = (L + √Δ)/2 - (L - √Δ)/2
d = √Δ => d = √(L² - 4f.L) = √[L(L - 4f)]                                  
                                                 
Assim, concluímos que a afirmação I) está correta.

Se L < 4f a equação não admite raízes reais. Logo a afirmação II) está incorreta.

Se L = 4f a equação admite apenas uma raíz real e portanto a afirmação III) está correta.
 
Resposta: b