Carl Friendrich Gauss, (1777 – 1855), matemático, astrônomo e físico alemão
Equação de Gauss. Aumento linear transversal
Borges e Nicolau
Equação de Gauss
Na aula anterior aprendemos como obter graficamente a imagem de um objeto colocado diante de um espelho esférico. A posição da imagem pode ser obtida por meio de uma equação: Equação de Gauss.
Sejam p e p’ as abscissas do objeto e da imagem em relação ao sistema de eixos cartesianos indicado na figura acima, obedecendo à seguinte convenção de sinais:
Objeto real: p > 0
Imagem real: p' > 0
Imagem virtual: p' < 0
Para a distância focal f, temos:
Espelho côncavo: f > 0
Espelho convexo: f < 0
p, p’ e f se relacionam pela Equação de Gauss:
1/f = 1/p + 1/p'
Aumento linear transversal A
Sejam i e o as alturas da imagem e do objeto, respectivamente. A relação entre i e o é indicada por A e recebe o nome de aumento linear transversal:
A = i/o
Convenção de sinais:
Imagem direita: A > 0
Imagem invertida: A < 0
O aumento linear transversal e as abscissas p e p’ do objeto e da imagem também se relacionam:
A = -p'/p
Exercícios básicos
Exercício 1:
Um objeto linear situa-se a 30 cm de um espelho esférico côncavo de distância focal 6 cm.
a) Determine a que distância do espelho se forma a imagem.
b) A imagem é real ou virtual?
Resolução: clique aqui
Exercício 2:
Um objeto linear situa-se a 30 cm de um espelho esférico convexo cuja distância focal é, em módulo, igual a 6 cm.
a) Determine a que distância do espelho se forma a imagem.
b) A imagem é real ou virtual?
Resolução: clique aqui
Exercício 3:
A imagem real de um objeto real fornecida por um espelho esférico côncavo, de raio de curvatura 20 cm, situa-se a 30 cm do espelho. Determine:
a) a distância focal do espelho;
b) a que distância do espelho está posicionado o objeto;
c) o aumento linear transversal.
Resolução: clique aqui
Exercício 4:
A imagem de um objeto situado diante de um espelho esférico convexo tem altura igual a 1/3 da altura do objeto. O módulo da distância focal do espelho é de 15 cm. Determine a distância entre o objeto e a imagem.
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Exercício 5:
Uma calota esférica de pequena abertura e de raio R = 20 cm é espelhada na superfície interna e na superfície externa. Dois objetos retilíneos de mesma altura, O1 e O2, são dispostos perpendicularmente ao eixo principal e à mesma distância de 15 cm das faces refletoras. Determine a distância entre as imagens conjugadas.
Resolução: clique aqui
Exercícios de Revisão
Revisão/Ex 1:
(UFAC)
Um pássaro está a 90 cm de um espelho convexo, cujo módulo da distância focal é 10 cm. Qual a distância da imagem ao espelho?
A) 90,0 cm
B) 9,0 cm
C) 100,0 cm
D) 0,9 cm
E) 80,0 cm
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Revisão/Ex 2:
(UEG-GO)
Conforme a ilustração abaixo, um objeto de 10 cm de altura move-se no eixo de um espelho esférico côncavo com raio de curvatura R = 20 cm, aproximando-se dele. O objeto parte de uma distância de 50 cm do vértice do espelho, animado com uma velocidade constante de 5 cm/s.
Responda ao que se pede.
a) No instante t = 2 s, quais são as características da imagem formada? Justifique.
b) Em qual instante a imagem do objeto se formará no infinito? Justifique.
c) No instante t = 7 s, qual é a posição e o tamanho da imagem formada? Justifique.
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Revisão/Ex 3:
(UFU-MG)
Um ponto luminoso está localizado sobre o eixo de um espelho esférico côncavo, como mostra a figura a seguir.
Dado: Considere que p é sempre maior que q.
Esse ponto luminoso começa a se aproximar do espelho, de raio de curvatura R, movimentando-se sobre o eixo. Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância entre o ponto luminoso e o espelho para a qual a distância entre o ponto luminoso e sua imagem é igual a R é dada por:
a) R.(1+√2/2)
b) R.√2/2
c) R
d) 2R
Revisão/Ex 4:
(Unimontes-MG)
A figura abaixo representa um espelho esférico côncavo em que a imagem tem uma altura três vezes maior do que a do objeto. As posições do objeto e da imagem são, respectivamente.
A) 10 cm e 20 cm
B) 20 cm e 30 cm
C) 10 cm e 30 cm
D) 30 cm e 40 cm
Resolução: clique aqui
Revisão/Ex 5:
(UFSE)
Considere dois espelhos esféricos, de raios de curvatura 20 cm cada, sendo um côncavo e o outro convexo.
Analise as afirmações acerca da imagem de uma pequena vela, colocada sobre o eixo principal do espelho.
Se a vela for colocada
0 0 - a 20 cm de qualquer dos dois espelhos, a imagem formada tem o mesmo tamanho da vela.
1 1 - a 15 cm do espelho convexo, sua imagem é virtual.
2 2 - a 15 cm do espelho côncavo, sua imagem é real.
3 3 - a 25 cm do espelho côncavo, sua imagem pode ser captada num anteparo.
4 4 - à distância menor do que 10 cm do espelho côncavo, a imagem da vela é invertida.
Resolução: clique aqui
b
Desafio:
Um retângulo de 6,0 cm x 10 cm é colocado diante de um espelho esférico de Gauss, de distância focal f = 10 cm, conforme a figura.
A imagem do retângulo é um:
a) quadrado de área 60 cm2
b) retângulo de área 60 cm2
c) trapézio de área aproximadamente igual a 60 cm2
d) quadrado de área aproximadamente igual a 60 cm2
e) trapézio de área aproximadamente igual a 107 cm2
A resolução será publicada na próxima terça-feira
Resolução do desafio anterior:
A reta r representa o eixo principal de um espelho esférico, o e i são, respectivamente, o objeto e a correspondente imagem.
O espelho esférico é concavo ou convexo?
Quais pontos representam o centro de curvatura C e o vértice V do espelho?
Resolução:
O espelho é côncavo, pois a imagem é direita e maior do que o objeto. Ao unirmos as extremidades superiores de o e i encontramos o centro de curvatura C: ponto 1. Ao unirmos a extremidade do objeto o invertido com a extremidade da imagem i, encontramos o vértice V: ponto 5.
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