Especial de Sábado

O tanque, o balde e a torneira aberta

(FUVEST)
Um sistema industrial é constituído por um tanque cilíndrico, com 600 litros de água e área de fundo S₁ = 0,6 m², e por um balde, com área do fundo S₂ = 0,2 m². O balde está vazio e é mantido suspenso, logo acima do nível da água do tanque, com auxílio de um fino fio de aço e de um contrapeso C, como indicado na figura. Então, em t = 0 s, o balde passa a receber água de uma torneira, à razão de 20 litros por minuto, e vai descendo, com velocidade constante, até que encoste no fundo do tanque e a torneira seja fechada.

Para o instante t = 6 minutos, com a torneira aberta, na situação em que o balde ainda não atingiu o fundo, determine:

a) A tensão adicional ΔF, em N, que passa agir no fio que sustenta o balde, em relação à situação inicial, indicada na figura.
b) A altura da água H₆, em m, dentro do tanque.
c) Considerando todo o tempo em que a torneira fica aberta, determine o intervalo de tempo T, em minutos, que o balde leva para encostar no fundo do tanque.

Note e adote:
O contrapeso equilibra o peso do balde, quando vazio.
O volume das paredes do balde é desprezível.

Resolução:

a) Se o balde desce com velocidade constante, concluímos que o contrapeso sobe com velocidade constante. Nestas condições, a intensidade da força de tração no fio é sempre igual ao peso do contrapeso. Deste modo, a intensidade da força de tração no fio não varia e  portanto: ΔF = 0.

b) Para que a intensidade da força de tração no fio não varie, devemos concluir que, em cada instante, o peso da água colocada no balde é igual à intensidade do empuxo, isto é o peso da água colocada no baldo é igual ao peso da água deslocada. Por isso, o nível da água no balde é o mesmo nível da água no tanque. No instante 6 min o balde recebeu o seguinte volume de água:
20 (litros/minuto) x 6 minutos = 120 litros
O volume total de água no tanque é de: 600 litros + 120 litros = 720 litros
A altura H₆ de água no tanque será:
V_total = S₁.H₆ => 720.10^-3 = 0,6.H₆ => H₆ = 1,2 m

c) altura da água no tanque, no instante t = 0 (figura A):
V₁ = S₁.H₁ => 600.10^-3 = 0,6.h₁ => h₁ = 1 m
Altura da água no balde no instante t = 6 min (figura B) 
V₂ = S₂.H₂ => 120.10^-3 = 0,2.h₂ => h₂ = 0,6 m
Observando as posições da base do tanque entre os instantes t = 0 e t = 6 min, concluímos que o tanque desce a distância H = 0,4 m. Logo a velocidade de descida do tanque é:
V = 0,4 m/6 min
Entre os instantes t = 0 e t = T (figura C), a base do tanque desce 1 m. Logo:
V = 0,4 m/6 min = 1 m/T => T = 15 min

Respostas: a) nula; b) 1,2 m; c) 15 min