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14ª aula
Capacitância eletrostática de um condutor isolado

Borges e Nicolau

Ao eletrizarmos um condutor com carga elétrica Q, ele adquire potencial elétrico V. Alterando-se a carga elétrica Q, o potencial elétrico V do condutor se altera na mesma proporção. Isto significa que Q e V são grandezas diretamente proporcionais. Portanto o quociente Q/V é constante e recebe o nome de capacitância C do condutor.

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Capacitância eletrostática de um condutor esférico de raio R

O potencial elétrico de qualquer ponto de um condutor esférico é dado por
V = k₀.Q/R.
Substituindo-se em C = Q/V, resulta:

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Exercícios básicos

x

Exercício 1:
Um condutor eletrizado com carga elétrica Q = 3 μC, adquire potencial elétrico

V = 2.10³ volts.
a) Determine a capacitância do condutor em nF (nano farad).
b) Dobrando-se a carga elétrica do condutor o que ocorre com o seu potencial elétrico? 

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x
Exercício 2:
Um condutor está eletrizado com carga elétrica Q = 6 μC e sob potencial elétrico

V = 5.10³ volts. Se a carga elétrica do condutor for reduzida a Q’ = 1,5 μC, qual será seu novo potencial elétrico V’? 

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Exercício 3:

Qual deveria ser o raio de um condutor esférico para que sua capacitância fosse igual a 1 μF?
Dado: k₀ = 9.10⁹ N.m²/C². 

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 x

Exercício 4:
Dois condutores esféricos, A e B, possuem raios R e R/2, respectivamente. O primeiro é de ferro e o segundo é de cobre. Eles estão imersos no ar. 
Sejam C_A e C_B suas capacitâncias. Tem-se:

a) C_A = C_B 
b) C_A = 2C_B 
c) C_A = C_B/2
d) C_A < C_B pois a densidade do ferro é maior do que a do cobre.
e) Quando eletrizados sob mesmo potencial elétrico o condutor B armazena maior carga elétrica.

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Exercício 5:
Uma bexiga de forma esférica possui raio R e está eletrizada com carga elétrica Q, uniformemente distribuída em sua superfície. Seja C sua capacitância e V seu potencial elétrico. Infla-se a bexiga de modo que seu raio passa a ser igual a 2R e sua carga elétrica permanece igual a Q. Nesta nova condição, a capacitância da bexiga e o seu potencial elétrico são, respectivamente, iguais a:

a) 2C e V
b) 2C e 2V
c) 2C e V/2
d) C/2 e V/2
e) C/2 e 2V 

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Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(PUC-CAMPINAS) 
Se a Terra for considerada um condutor esférico (R = 6300 km), situada no vácuo, sua capacitância, para k₀ = 9x10⁹ m/F, será aproximadamente:

a) 500 μF
b) 600 μF
c) 700 μF
d) 6300 μF
e) 700 F

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Revisão/Ex 2:
(PUC-SP)
Uma esfera metálica oca (A) e outra maciça (B) têm diâmetros iguais. A capacidade elétrica de A, no mesmo meio que B:

(a) depende da natureza do metal de que é feita;
(b) depende de sua espessura;
(c) é igual à de B;
(d) é maior que a de B;
(e) é menor que a de B.

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Revisão/Ex 3:
Sejam dados dois condutores: o primeiro com uma carga elétrica Q₁ = 20 µC e potencial V₁ = 50.10³ V, e o segundo com carga elétrica Q₂ = 40 µC e potencial V₂ desconhecido. Sabendo-se que a capacitância eletrostática do primeiro é três vezes maior que a do segundo, determine:

a) o potencial V₂ do segundo condutor.
b) a capacitância C₁ do primeiro condutor.

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Revisão/Ex 4:
Dois condutores esféricos A e B são eletrizados adquirindo o mesmo potencial elétrico. A carga elétrica adquirida pelo condutor A e maior do que a de B. Qual dos condutores têm maior capacitância? Qual deles têm maior raio? Considere os condutores imersos no mesmo meio.

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Revisão/Ex 5:
(Fuvest-SP)
Dois condutores esféricos A e B, de raios respectivos R e 2R, estão isolados e muito distantes um do outro. As cargas das duas esferas são de mesmo sinal e a densidade superficial da primeira é igual o dobro da densidade superficial da segunda. Interligam-se as duas esferas por um fio condutor. Diga se uma corrente elétrica se estabelece no fio e, em caso afirmativo, qual sentido da corrente. Justifique sua resposta.

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d
Desafio: 

Na superfície esférica de uma bolha de sabão de raio R = 20 cm, distribui-se uniformemente uma carga elétrica Q. A espessura da bolha é e tal 

que (R-e)³ = 7784 cm³. O potencial elétrico da distribuição esférica é de 45 V. É dada a constante eletrostática do meio: K₀=9.10⁹ N.m²/C².

a) Qual é o valor de Q?

b) Qual é a capacitância da  bolha?

c) A bolha arrebenta e forma uma gota esférica única , que mantém , distribuída em sua superfície, a carga elétrica Q. Qual é o potencial elétrico desta gota?

A resolução será publicada na próxima quarta-feira.

Resolução do desafio anterior:
 
O potencial elétrico de uma esfera condutora, de raio R e eletrizada com carga elétrica Q, varia com a distância ao seu centro, segundo o gráfico abaixo. É dada a constante eletrostática do meio K₀ = 9.10⁹ N.m²/C².

Determine:

a) o raio R
b) a carga elétrica Q
c) a que distância do centro da esfera o potencial elétrico é igual a 60 V?
d) a intensidade do vetor campo elétrico num ponto externo à esfera e 
situado a 2,0 cm da superfície.

a) Do gráfico concluímos que o raio da esfera é R = 10 cm.

b) V_esfera = K₀.Q/R => 90 = 9.10⁹.Q/0,10 => Q = 1,0.10^-9 C

c) V_ext = K₀.Q/d => 60 = 9.10⁹.1,0.10^-9/d => d = 0,15 m = 15 cm
 
d) E_ext = K₀.IQI/d² => E_ext = 9.10⁹.1,0.10^-9/(0,12)² => E_ext = 6,25.10² N/C