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A capacitância do condutor de raio R₁ é maior do que a de raio R₂

 

15ª aula
Ligação entre dois condutores esféricos

Borges e Nicolau

Vamos estabelecer um contato direto, ou através de um fio, entre dois condutores esféricos de raios R₁ e R₂, eletrizados com cargas elétricas Q₁ e Q₂ e potenciais elétricos V₁ e V₂ (V₁ ≠ V₂), respectivamente. Despreze a indução eletrostática de um condutor sobre o outro.

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Após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático os condutores adquirem o mesmo potencial V e passam a ter novas cargas Q'₁ e Q'₂. Vamos 
determinar Q'₁ e Q'₂:

Q₁ + Q₂ = Q'₁ + Q'₂
Q₁ + Q₂ = C₁.V + C₂.V
V = (Q₁ + Q₂)/(C₁ + C₂)

Q'₁ = C₁.V  =>  Q'₁ = C₁.(Q₁ + Q₂)/(C₁ + C₂)  =>

Q'₂ = C₁.V  =>  Q'₂ = C₂.(Q₁ + Q₂)/(C₁ + C₂)  =>

Resumindo:

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Exercícios básicos
 
Exercício 1:
Tem-se dois condutores esféricos de mesmo raio (R₁ = R₂ = R). O primeiro está eletrizado com carga elétrica Q₁ = 6,0 μC  e o segundo está neutro (Q₂ = 0). Os condutores são colocados em contato. Determine as novas cargas elétricas dos condutores (Q'₁ e Q'₂), após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático entre eles.
  
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Exercício 2:
Tem-se dois condutores esféricos de mesmo raio (R₁ = R₂ = R). O primeiro está eletrizado com carga elétrica Q₁ = 6,0 μC e o segundo com carga elétrica  
Q₂ = 4,0 μC. Os condutores são colocados em contato. Determine as novas cargas elétricas dos condutores (Q'₁ e Q'₂), após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático entre eles. 

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Exercício 3:
Dois condutores esféricos, A e B, de raios R₁ = R e R₂ = 9R, estão eletrizados com cargas elétricas Q₁ = 6,0 μC e Q₂ = 4,0 μC, respectivamente. Os condutores são colocados em contato.
 
a) Determine as novas cargas elétricas dos condutores (Q'₁ e Q'₂), após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático entre eles.
b) Houve passagem de elétrons de A para B ou de B para A?
 
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Exercício 4:
Dois condutores esféricos, A e B, de raios 10 cm e 30 cm estão eletrizados com cargas elétricas iguais a 7,0 μC e 5,0 μC, respectivamente.
É dado k₀ = 9.10⁹ N.m²/C²

a) Quais os potenciais elétricos dos condutores?
b) Coloca-se os condutores em contato. Quais são as novas cargas elétricas dos condutores, após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático entre eles. 
c) Nas condições do item b, calcule o potencial elétrico comum aos condutores. 

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Exercício 5:
Retome o exercício anterior e seja 1,6.10^-19 C a carga elétrica do próton que em módulo é igual à do elétron. Assinale a afirmação correta:

I) Desde o estabelecimento do contato entre os condutores até atingir o equilíbrio eletrostático, ocorre a passagem de 2,5.10¹³ elétrons de A para B.
II) Desde o estabelecimento do contato entre os condutores até atingir o equilíbrio eletrostático, ocorre a passagem de 2,5.10¹³ elétrons de B para A.
III) Desde o estabelecimento do contato entre os condutores até atingir o equilíbrio eletrostático, ocorre a passagem de 2,5.10¹³ prótons de A para B.
IV) Desde o estabelecimento do contato entre os condutores até atingir o equilíbrio eletrostático, ocorre a passagem de 1,6.10²⁶ elétrons de B para A.

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Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(UFPB)
Considere que X, Y, W e Z são quatro esferas metálicas idênticas. A carga de X é 8Q e as outras três esferas são neutras. Fazemos três experimentos em sequência. Primeiro, fazemos a eletrização por contato de X com Y. Em seguida, fazemos a eletrização por contato de X com W. Por último, fazemos a eletrização por contato de X com Z. O que acontecerá após a terceira eletrização?

a) A soma de todas as cargas será 8Q.
b) A carga de X será igual a de Y, assim como a carga de W será igual a de Z.
c) Todas as cargas ficarão iguais.
d) Y e W terão a mesma carga.
e) A carga de X será o dobro da de Y, a carga de Y será o dobro da de W e a carga de W será o dobro da de Z.

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Revisão/Ex 2:
(UNICAMP)
Duas esferas condutoras A e B distantes possuem o mesmo raio R e estão carregadas com cargas Q_a = -q e Q_b = +2q, respectivamente.
Uma terceira esfera condutora C, de mesmo raio R, porém descarregada, é trazida desde longe e é levada a tocar primeiramente a esfera A, depois a esfera B e em seguida é levada novamente para longe.

a) Qual é a diferença de potencial entre as esferas A e B antes da esfera C tocá-las? É dado k₀, constante eletrostática no vácuo.
b) Qual é a carga final da esfera C?

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Revisão/Ex 3:
(Olimpíada Paulista de Física)
Uma esfera metálica de raio R₁ = 5,0 cm está carregada com 4,0.10^-3 C. Outra esfera metálica de raio R₂ = 15,0 cm está inicialmente descarregada. Se as duas esferas são conectadas eletricamente, podemos afirmar que:

a) a carga total será igualmente distribuída entre as duas esferas.
b) a carga da esfera maior será 1,0.10^-3 C.
c) a carga da esfera menor será 2,0.10^-3 C.
d) a carga da esfera maior será 3,0.10^-3 C.
e) a carga da esfera menor será 3,0.10^-3 C.

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Revisão/Ex 4:
(ITA-SP)
Duas esferas metálicas, A e B, de raios R e 3R, respectivamente, são postas em contato. Inicialmente A possui carga elétrica positiva +2Q e B, carga -Q. Após atingir o equilíbrio eletrostático, as novas cargas de A e B passam a ser, respectivamente:

a) Q/2, Q/2.
b) 3Q/4, Q/4.
c) 3Q/2, Q/2.
d) Q/4, 3Q/4.
e) 4Q/3 e -Q/3.

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Revisão/Ex 5:
(ITA-SP)
Uma esfera metálica isolada, de raio R₁ = 10,0 cm, é carregada no vácuo até atingir o potencial V₁ = 9,0 V. Em seguida, ela é posta em contato com outra esfera metálica isolada, de raio R₂ = 5,0 cm, inicialmente neutra. Após atingido o equilíbrio, qual das alternativas abaixo melhor descreve a situação física?
Dado: k₀ = 9.10⁹ N.m²/C²

a) A esfera maior terá uma carga de 0,66.10^-10 C.
b) A esfera maior terá um potencial de 4,5 V.
c) A esfera menor terá uma carga de 0,66.10^-10 C.
d) A esfera menor terá um potencial de 4,5 V.
e) A carga total é igualmente dividida entre as duas esferas.

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z
Desafio: 

São dadas três esferas metálicas. Isoladas, A, B e C, de raios R, R e 2R, respectivamente, com R = 30 cm. A esfera A está eletrizada com potencial elétrico de 3,0.10³ V e B e C estão descarregadas. 
É dada a constante eletrostática do meio K₀ = 9.10⁹ N.m²/C².

a) Determine a carga elétrica inicial Q de A.
b) Unem-se as esferas por meio de fios condutores de capacitâncias desprezíveis. Qual é o potencial elétrico de equilíbrio e quais as novas cargas elétricas Q_A, Q_B e Q_C, de A, B e C?
c) Sabe-se que ao se estabelecer a ligação entre os condutores ocorre, entre eles, uma transferência de elétrons. Analise entre quais condutores se deu esta passagem de elétrons e determine o número de elétrons que os condutores trocaram. É dada a carga elétrica do elétron, em valor absoluto: e = 1,6.10^-19 C.

A resolução será publicada na próxima quarta-feira.

Resolução do desafio anterior:
 

Na superfície esférica de uma bolha de sabão de raio R = 20 cm, distribui-se uniformemente uma carga elétrica Q. A espessura da bolha é e tal 
que (R-e)³ = 7784 cm³. O potencial elétrico da distribuição esférica é de 45 V.
É dada a constante eletrostática do meio: K₀=9.10⁹ N.m²/C². 

a) Qual é o valor de Q?

b) Qual é a capacitância da  bolha?

c) A bolha arrebenta e forma uma gota esférica única , que mantém , distribuída em sua superfície, a carga elétrica Q. Qual é o potencial elétrico desta gota?

a) 
V = K₀.Q/R => 45 = 9.10⁹.Q/0,20 => Q = 1,0.10^-9 C

b) 
C = Q/V => C = 1,0.10^-9/45 => C ≅ 2,2.10^-11 F

c)  
Cálculo do raio da gota R_g

Vamos igualar os volumes da bolha e da gota:

(4/3)πR³ - (4/3)π(R-e)³ = (4/3)πR_g³
R³ - (R-e)³ = R_g³
(20)³ - 7784 = R_g³
8000 - 7784 = R_g³
216 = R_g³ => R_g³ = (6,0)³ ∴ R_g = 6,0 cm

Potencial elétrico da gota

V' = K₀.Q/R_g
V' = 9.10⁹.1,0.10^-9/6,0.10^-2
V' =  1,5.10² V