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Fonte: Física Básica

 

17ª aula
Lançamento Oblíquo

Borges e Nicolau

Considere um móvel P lançado obliquamente com velocidade v₀ nas proximidades da superfície terrestre. Seja θ o ângulo que v₀ forma com a horizontal, denominado ângulo de tiro. Vamos desprezar a resistência do ar. O movimento de P pode ser considerado como a composição de dois movimentos, um horizontal P_x e outro vertical P_y.

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Componentes horizontal e vertical da velocidade inicial:

v_x = v₀.cos θ

v_0y = v₀.sen θ

Movimento vertical:

Lançamento vertical para cima (MUV) com velocidade v_0y = v₀.sen θ

y = v_0y.t + (α/2).t²

v_y = v_0y + α.t

(v_y)² = (v_0y)²+ 2.α.y

α = -g

(eixo orientado para cima)

Movimento horizontal: Uniforme com velocidade v_x = v₀.cos θ

x = v_x.t

Cálculo do tempo de subida ts:

t = t_s quando v_y = 0 => v_y = v_0y - g.t => 0 = v_0y - g.t

t_s = v_0y/g

Cálculo do alcance A:

x = A quando t = 2t_s =>

A = v_x.2t_s

O tempo total do movimento é igual a 2t_s pois os tempos de subida e de descida t_s e t_d são iguais.

Altura máxima H:

y = H quando v_y = 0 => (v_y)² = (v_0y)² - 2.g.y => 0 = (v_0y)² - 2.g.H

H = (v_0y)²/2g

A velocidade resultante do móvel em cada instante é:

v = v_x + v_y
(Em negrito: notação vetorial)

Exercícios básicos

Exercício 1:
Uma bola de tênis é lançada obliquamente de um ponto O com velocidade v₀, de módulo 10 m/s, formando um ângulo θ com o solo horizontal, tal que sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8.
Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s².

 

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Determine: v_x, v_0y, t_s, A e H

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Exercício 2:
Uma bola de tênis é lançada obliquamente com velocidade v₀ = 5 m/s de um local do solo, suposto horizontal. Determine o alcance A e a altura máxima H, nos casos:

a) O ângulo de tiro é θ = 30º;
a) O ângulo de tiro é θ = 60º.

Dados:
sen 30º = cos 60º = 0,5
sen 60º = cos 30º = √3/2

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Exercício 3:
Com base no exercício anterior, podemos concluir que, para a mesma velocidade de lançamento, a bola de tênis atinge o mesmo valor para __________________, pois os ângulos de tiro são __________________. As palavras que preenchem corretamente os espaços indicados são, respectivamente:

a) a altura máxima e suplementares;
b) a altura máxima e complementares;
c) o alcance e suplementares;
d) o alcance e complementares;
e) o tempo de subida e complementares.

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Exercício 4:
Um projétil é lançado obliquamente com velocidade inicial de módulo
20 m/s, formando ângulo θ com a horizontal, tal que sen θ = 0,8 e
cos θ = 0,6. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s².

Determine:

a) o módulo da velocidade mínima atingida pelo projétil;
b) as componentes horizontal e vertical da velocidade e o módulo da velocidade resultante no instante t = 1 s.

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Exercício 5:
Num jogo de futebol o goleiro bate um tiro de meta e a bola é lançada de modo que as componentes horizontal e vertical de sua velocidade inicial sejam iguais a 10 m/s. Em sua trajetória a bola passa por dois pontos, A e B, situados a uma mesma altura hx=x3,2 m em relação ao gramado.
Considere que a bola está sob ação exclusiva da gravidade e seja gx=x10xm/s².

a) Determine o intervalo de tempo decorrido entre as passagens pelos pontos A e B.
b) A distância entre A e B.

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Exercícios de revisão

O texto abaixo refere-se aos exercícios 1 e 2.

(PUC-SP) Um projétil é lançado em certa direção com velocidade inicial, cujas projeções vertical e horizontal têm módulos, respectivamente, de 100 m/s e 75 m/s. A trajetória descrita é parabólica e o projétil toca o solo horizontal em B.

 
Revisão/Ex 1:
Desprezando a resistência do ar:

a) no ponto de altura máxima, a velocidade do projétil é nula.
b) o projétil chega a B com velocidade nula.
c) a velocidade vetorial do projétil ao atingir B é igual à de lançamento.
d) durante o movimento há conservação das componentes horizontal e vertical da velocidade.
e) durante o movimento apenas a componente horizontal da velocidade é conservada.

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Revisão/Ex 2:
Quanto ao módulo da velocidade, tem valor mínimo igual a:

a) 125 m/s.
b) 100 m/s.
c) 75 m/s.
d) zero.
e) 25 m/s.

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Revisão/Ex 3:
(Mackenzie-SP)
Uma bola é chutada a partir de um ponto de uma região plana e horizontal, onde o campo gravitacional é considerado uniforme, segundo a direção vertical e descendente. A trajetória descrita pela bola é uma parábola, IgI = 10 m/s² e a resistência do ar é desprezível.

Considerando os valores da tabela acima, conclui-se que o ângulo α de lançamento da bola foi, aproximadamente,

a) 15º     b) 30º     c) 45º     d) 50º     e) 75º

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Revisão/Ex 4:
(VUNESP)
O gol que Pelé não fez

Na copa de 1970, na partida entre Brasil e Tchecoslováquia, Pelé pega a bola um pouco ante do meio de campo, vê o goleiro tcheco adiantado, e arrisca um chute que entrou para a história do futebol brasileiro. No início do lance, a bola parte do solo com velocidade de 108 km/h (30 m/s), e três segundos depois toca novamente o solo atrás da linha de fundo, depois de descrever uma parábola no ar e passar rente à trave, para alívio do assustado goleiro.
Na figura vemos uma simulação do chute de Pelé.

Considerando que o vetor velocidade inicial da bola depois do chute de Pelé fazia um ângulo de 30º com a horizontal (sen 30º = 0,50 e cos 30º = 0,85) e desconsiderando a resistência do ar e a rotação da bola, pode-se afirmar que a distância horizontal entre o ponto de onde a bola partiu do solo depois do chute e o ponto onde ela tocou o solo atrás da linha de fundo era, em metros, um valor mais próximo de

a) 52,0.     b) 64,5.     c) 76,5.     d) 80,4.     e) 86,6.

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Revisão/Ex 5:
(UECE)
Uma bola é chutada da superfície de um terreno plano segundo um ângulo φ₀ acima do horizontal. 

Se θ é o ângulo de elevação do ponto mais alto da trajetória, visto do ponto de lançamento, a razão tg θ/tg φ₀, desprezando-se a resistência do ar, é igual a

A) 1/4
B) 1/2
C) 1/6
D) 1/8

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g
Desafio: 

Uma bola é colocada a 32 m de um prédio sobre o solo, considerado horizontal. Cada andar do prédio, incluindo o térreo, têm 3,0 m de altura. A bola é lançada com velocidade de módulo v₀ = 20 m/s e que forma com a horizontal um ângulo θ, tal que sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80, conforme indica a figura.

Sendo g = 10 m/s², determine o andar que foi atingido pela bola.
A bola atingiu o prédio durante seu movimento de subida ou descida?

A resolução será publicada na próxima segunda-feira

 

Resolução do desafio anterior: 

Um projétil é lançado horizontalmente com velocidade v₀ = 40 m/s de um local situado a 180 m do solo, suposto horizontal. Considere g = 10 m/s² e despreze a ação do ar.

a) Determine  o tempo de queda t_q e a que distância d da vertical de lançamento o projétil atinge o solo.
b) Determine a que altura do solo se encontra o projétil no instante t_q/2?
c) No instante t_q/2 quais são as componentes v_x e v_y da velocidade do projétil e qual é o módulo de sua velocidade v?

a)
y = g.t²/2 => H = g.t_q²/2 => 180 = 10.t_q²/2 => t_q = 6,0 s
x = v₀.t => d = 40.6,0 => d = 240 m

b)
y = g.t²/2 => h = 10.(3,0)²/2 => h = 45 m

c)
v_x = v₀ = 40 m/s 
v_y = g.t => v_y = 10.3,0 => v_y = 30 m/s 
v² = v_x²+v_y² => v² = (40)²+(30)² => v = 50 m/s

Respostas:

a) 6,0 s; 240 m
b) 45 m
c) 40 m/s; 30 m/s; 50 m/s