Desafio de Mestre Especial - Resolução

Em busca de exoplanetas

É consensual na comunidade científica que o Sistema Solar deverá entrar em colapso daqui a cerca de cinco bilhões de anos, pondo fim ao nosso planeta e toda sorte de vida encontrada por aqui. Por isso, visando-se preservar especialmente a raça humana, tornou-se imperativo prospectar-se no Universo alternativas de habitabilidade similares à Terra – exoplanetas.

No momento, o que há de mais promissor na Via Láctea é um sistema recém-descoberto situado a 39 anos-luz, constituído de uma pequena estrela – a Trappist 1 – que tem sete planetas rochosos a gravitar em órbitas praticamente circulares ao seu redor. Esses planetas, em ordem de distâncias crescentes ao seu “sol”, foram chamados provisoriamente de b, c, d, e, f, g e h, respectivamente. As temperaturas nesses astros variam entre 0°C e 100°C, o que possibilita a existência de água no estado líquido em suas superfícies.

O infográfico a seguir traz algumas estimativas já elaboradas em relação a esses planetas, bem como dados de planetas do Sistema Solar, inclusive a Terra.

Com base nas informações da ilustração e considerando-se a órbita da Terra em torno do Sol praticamente circular e percorrida com velocidade de intensidade constante igual a 30,0 km/s, responda:

a) Qual a intensidade aproximada da velocidade orbital do planeta f, V_f, em km/s?
b) Qual dos planetas da Trappist 1 tem aceleração da gravidade na superfície com intensidade mais próxima da verificada na superfície da Terra? Despreze nessa avaliação o movimento de rotação dos planetas.
c) A massa da Trappist 1 corresponde, aproximadamente, a que percentual, P, da massa do Sol?

Resolução:

a)
Os movimentos orbitais devem ser considerados circulares e uniformes. Logo:

V = Δs/Δt = 2πd/T

Planeta f => V_f = 2π.0,037/9,21
Terra => 30,0 = 2π.1,000/365,25

V_f/30 = (2π.0,037/9,21)/(2π.1,000/365,25)

V_f = 30,0.0,037.365,25/9,21 km/s

V_f ≅ 44,0 km/s

b)
Desprezando-se a rotação do planeta, a intensidade da aceleração da gravidade em sua superfície é calculada:

P = F_G => mg = G.m.M/R²
Da qual g = G.M/R²

Terra => g_Terra = G.M_T/R_T²
Planeta b => g_b = G.0,85M_T/(1,09R_T)² ≅ 0,71.G.M_T/R_T² = 0,71.g_Terra
Planeta c => g_c = G.1,38M_T/(1,06R_T)² ≅ 1,23.G.M_T/R_T² = 1,23.g_Terra
Planeta d => g_h = G.0,41M_T/(0,77R_T)² ≅ 0,69.G.M_T/R_T² = 0,69.g_Terra
Planeta g => g_g = G.1,34/(0,77R_T)² ≅ 1,13.G.M_T/R_T² = 0,73.g_Terra
Planeta h => Não há dados suficientes para o cálculo.

Assim, o planeta que tem aceleração da gravidade na superfície mais próxima da aceleração da gravidade da superfície terrestre é o planeta g.

Nota: A constante da Gravitação G tem a mesma magnitude em qualquer lugar do Universo.

c)

No movimento orbital:

F_G = F_cp
GMm/d² - mω²d
GM = (2π/T)²d³

GM_Trappist/4π² = (0,037)³/(9,21)² (1)

Para a Terra:

GM_Sol/4π² = (1,000)³/(365,25)² (2)

Dividindo-se as equações (1) e (2), vem:

M_Trappist/M_Sol = (0,037/1,000)³/(365,25/9,21)²

De onde se conclui que:

M_Trappist/M_Sol ≅ 0,08