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quinta-feira, 30 de março de 2017

Desafio de Mestre Especial - Resolução

Em busca de exoplanetas

É consensual na comunidade científica que o Sistema Solar deverá entrar em colapso daqui a cerca de cinco bilhões de anos, pondo fim ao nosso planeta e toda sorte de vida encontrada por aqui. Por isso, visando-se preservar especialmente a raça humana, tornou-se imperativo prospectar-se no Universo alternativas de habitabilidade similares à Terra – exoplanetas.

No momento, o que há de mais promissor na Via Láctea é um sistema recém-descoberto situado a 39 anos-luz, constituído de uma pequena estrela – a Trappist 1 – que tem sete planetas rochosos a gravitar em órbitas praticamente circulares ao seu redor. Esses planetas, em ordem de distâncias crescentes ao seu “sol”, foram chamados provisoriamente de b, c, d, e, f, g e h, respectivamente. As temperaturas nesses astros variam entre 0°C e 100°C, o que possibilita a existência de água no estado líquido em suas superfícies.

O infográfico a seguir traz algumas estimativas já elaboradas em relação a esses planetas, bem como dados de planetas do Sistema Solar, inclusive a Terra.



Com base nas informações da ilustração e considerando-se a órbita da Terra em torno do Sol praticamente circular e percorrida com velocidade de intensidade constante igual a 30,0 km/s, responda:

a) Qual a intensidade aproximada da velocidade orbital do planeta f, Vf, em km/s?
b) Qual dos planetas da Trappist 1 tem aceleração da gravidade na superfície com intensidade mais próxima da verificada na superfície da Terra? Despreze nessa avaliação o movimento de rotação dos planetas.
c) A massa da Trappist 1 corresponde, aproximadamente, a que percentual, P, da massa do Sol?


Resolução:

a)
Os movimentos orbitais devem ser considerados circulares e uniformes. Logo:

V = Δs/Δt = 2πd/T

Planeta f => Vf = 2π.0,037/9,21
Terra => 30,0 = 2π.1,000/365,25

Vf/30 = (2π.0,037/9,21)/(2π.1,000/365,25)

Vf = 30,0.0,037.365,25/9,21 km/s

Vf 44,0 km/s

b)
Desprezando-se a rotação do planeta, a intensidade da aceleração da gravidade em sua superfície é calculada:


P = FG => mg = G.m.M/R2
Da qual g = G.M/R2

Terra => gTerra = G.MT/RT2
Planeta b => gb = G.0,85MT/(1,09RT)2 0,71.G.MT/RT2 = 0,71.gTerra
Planeta c => gc = G.1,38MT/(1,06RT)2 1,23.G.MT/RT2 = 1,23.gTerra
Planeta d => gh = G.0,41MT/(0,77RT)2 0,69.G.MT/RT2 = 0,69.gTerra
Planeta g => gg = G.1,34/(0,77RT)2 1,13.G.MT/RT2 = 0,73.gTerra
Planeta h => Não há dados suficientes para o cálculo.

Assim, o planeta que tem aceleração da gravidade na superfície mais próxima da aceleração da gravidade da superfície terrestre é o planeta g.

Nota: A constante da Gravitação G tem a mesma magnitude em qualquer lugar do Universo.

c)


No movimento orbital:

FG = Fcp
GMm/d2 - mω2d
GM = (2π/T)2d3

GMTrappist/4π2 = (0,037)3/(9,21)2 (1)

Para a Terra:

GMSol/4π2 = (1,000)3/(365,25)2 (2)

Dividindo-se as equações (1) e (2), vem:

MTrappist/MSol = (0,037/1,000)3/(365,25/9,21)2

De onde se conclui que:

MTrappist/MSol ≅ 0,08

Um comentário:

  1. Questões boas. Fui tentar fazer, mas muito difícil enxergar os dados do infográfico (legendas muito pequenas).

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