Desafio de Mestre Especial - Resolução

Olá pessoal. Hoje é dia 23 e, como foi prometido, estamos publicando a resolução do problema proposto.

Borges e Nicolau

Bloco descendo a rampa

Uma rampa de madeira de massa igual a 100 kg, está inicialmente em repouso, sobre um piso horizontal. O ângulo θ, indicado na figura é tal que tg θ = 0,75.
Um bloco de massa 50 kg desliza nessa rampa a partir do repouso, percorrendo do ponto mais elevado da rampa (A) ao ponto mais baixo (B), a distância de 10 m. Despreze todos os atritos. Qual é a velocidade da rampa, em relação ao piso, no instante em que o bloco atinge o ponto B?

Resolução:

sen θ = h/10 => 0,6 = h/10 => h = 6 m

Sejam v_R e v os módulos das velocidades da rampa e do bloco, em relação ao piso.
As componentes de v nas direções horizontal e vertical são, em módulo, v_x e v_y.

Conservação da  quantidade de movimento na direção horizontal:

M.v_R = m.v_x
100.v_R = 50.v_x
v_x = 2.v_R (I)

A velocidade do bloco em relação à rampa tem módulo v_rel e sua direção é a da rampa. A velocidade v_R da rampa é a velocidade de arrastamento. Vetorialmente temos:

v = v_rel + v_R

No triângulo sombreado

tg θ = v_y/(v_x+v_R) 
0,75 = v_y/(2v_R+v_R)
3/4 = v_y/3v_R
4v_y = 9.v_R
v_y = 9v_R/4
v² = v_x² + v_y² => v² = (2v_R)² + (9v_R/4)²
v² = 4v_R² + 81v_R²/16 => v² = [(64+81)/16].v_R²
v² = 145v_R²/16

Conservação da energia mecânica

M.v_R²/2 + m.v²/2 = m.g.h
50.v_R² + 25.(145v_R²/16) = 50.10.6  
50.v_R² + (3625/16).v_R² = 3000
v_R² = 3000/(800+3625)/16
v_R² = 48000/4425
v_R² ≅ 10,85
v_R ≅ 3,2 m/s