Cursos do Blog - Mecânica

19ª aula
Movimentos Circulares (II)

Borges e Nicolau

Transmissão de movimento circular uniforme

A transmissão do movimento circular de uma polia para outra, pode ser feita de dois modos:
1) utilizando-se uma correia ou uma corrente;
2) estabelecendo-se um contato direto entre as polias.
Para não haver deslizamento ou escorregamento são usadas engrenagens cujos dentes se encaixam nos elos da corrente ou, no caso do contato, há uma adaptação dos dentes das engrenagens.

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Esquematicamente, temos:

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Não havendo escorregamento os pontos periféricos das polias têm a mesma velocidade linear. Assim, vem:

V_A = V_B

Sendo v = ω.R e ω = 2π.f, resulta:

ω_A.R_A = ω_B.R_B

f_A.R_A = f_B.R_B 

Movimento circular uniformemente variado

Conhecemos as equações lineares do movimento uniformemente variado:

S = S₀ + v₀.t + (1/2) α.t²
v = v₀ + α.t
α = α_m = Δv/Δt = constante e diferente de zero
v² = v₀² + 2.α.ΔS
v₀ = velocidade inicial
α = aceleração escalar

As correspondentes equações angulares são obtidas lembrando que:

φ = S/R => ω = V/R e γ = Δω/Δt = α/R (aceleração angular)

Assim, temos:

φ = φ₀ + ω₀.t + (1/2).γ.t²

ω = ω₀ + γ.t
ω² = ω₀² + 2.γ.Δφ

Exercícios básicos

Exercício 1:
Duas polias, 1 e 2, são ligadas por uma correia. A polia 1 possui
raio R₁x=x20 cm, gira com frequência f₁ = 30 rpm. A polia 2 possui raio
R₂ = 15 cm, gira com frequência f₂. Não há escorregamento da correia sobre as polias. Determine:

a) a frequência f₂;
b) as velocidades lineares v₁ e v₂ dos pontos P₁ e P₂.

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Exercício 2:
Duas polias, 1 e 2, giram ligadas ao eixo de um motor. A polia 1 possui
raio R₁ = 20 cm, gira com velocidade angular ω₁ = 12 rad/s. A polia 2
possui raio R₂ = 15 cm. Determine:

a) a frequência f₁ da polia 1;
b) a velocidade angular ω₂ e a frequência f₂ da polia 2;
c) as velocidade lineares v₁ e v₂ dos pontos P₁ e P₂.

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Exercício 3:
Três engrenagens giram vinculadas conforme a figura. A engrenagem A gira no sentido horário com velocidade angular 30 rad/s. As engrenagens C, B e A possuem raios R, 2R e 3R, respectivamente. Determine as velocidades angulares de B e C e seus sentidos de rotação.

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Exercício 4:
Uma partícula, partindo do repouso, realiza um movimento circular uniformemente variado de raio igual a 16 cm. Nos primeiros 4 s a partícula descreve um ângulo de π/2 rad. Determine:

a) a aceleração angular γ e a aceleração linear α.
b) o número de voltas que a partícula executa 40 s após a partida.

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Exercício 5:
Um disco, partindo do repouso, realiza um movimento uniformemente variado e no instante em que completa 5 voltas, sua velocidade angular é de 6 rad/s. Calcule a aceleração angular do disco. Adote π = 3.

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Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(FUVEST)
Uma cinta funciona solidária com dois cilindros de raios r₁ = 10 cm e r₂ = 50 cm. Supondo que o cilindro maior tenha uma frequência de rotação f₂ igual a 60 rpm: 

a) Qual a frequência de rotação f₁ do cilindro menor?
b) Qual a velocidade linear da cinta? Adote π = 3.

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Revisão/Ex 2:
(Uniube-MG)
Duas engrenagens de uma máquina estão acopladas segundo a figura. A frequência da engrenagem A é cinco vezes maior que a de B, portanto a relação entre os raios de A e B é:

a) 2.
b) 1.
c) 1/2.
d) 1/4.
e) 1/5.

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Revisão/Ex 3:
(Mackenzie-SP)
Quatro polias, solidárias duas a duas (figura 1), podem ser acopladas por meio de uma única correia, conforme as possibilidades abaixo ilustradas (figura 2).

figura 1

                                                     figura 2

Os raios das polias A, B, C e D são respectivamente, 4,0 cm, 6,0 cm, 8,0 cm e 10 cm. Sabendo que a frequência do eixo do conjunto CD é 4800 rpm, a maior frequência obtida para o eixo do conjunto AB, dentre as combinações citadas, é:

a) 400 Hz.
b) 200 Hz.
c) 160 Hz.
d) 133 Hz.
e) 107 Hz.

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Revisão/Ex 4:
(Olimpíada Brasileira de Física)
Uma partícula inicialmente em repouso executa um movimento circular uniformemente variado ao longo de uma circunferência de raio R. Após uma volta completa, o módulo de sua velocidade é igual a v. Nesse instante, o módulo de sua aceleração vale:

a). v²/R
b)  v².√(2/R)
c). 4.v²/R
d). (v²/R).√(1+1/4π)
e). (v²/R).√(1+1/16π²)

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Revisão/Ex 5:
(UFPB)
Em uma bicicleta, a transmissão do movimento das pedaladas se faz através de uma corrente, acoplando um disco dentado dianteiro (coroa) a um disco dentado traseiro (catraca), sem que haja deslizamento entre a corrente e os discos. A catraca, por sua vez, é acoplada à roda traseira de modo que as velocidades angulares da catraca e da roda sejam as mesmas (ver a seguir figura representativa de uma bicicleta).

Em uma corrida de bicicleta, o ciclista desloca-se com velocidade escalar constante, mantendo um ritmo estável de pedaladas, capaz de imprimir no disco dianteiro uma velocidade angular de 4 rad/s, para uma configuração em que o raio da coroa é 4R, o raio da catraca é R e o raio da roda é 0,5 m. Com base no exposto, conclui-se que a velocidade escalar do ciclista é:

a) 2 m/s     b) 4 m/s     c) 8 m/s     d) 12 m/s     e) 16 m/s

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s
Desafio: 

Uma bicicleta desloca-se em linha reta com  velocidade constante de 4,0 m/s. O diâmetro do pneu é igual a 60 cm. No centro da roda traseira, presa ao eixo, há uma roda dentada de diâmetro 6,0 cm. Junto ao pedal e preso ao seu eixo há outra roda dentada de diâmetro 20 cm. A transmissão do movimento circular é feito por uma corrente.  Não há deslizamento entre a corrente e as rodas dentadas.

Supondo que o ciclista imprima aos pedais um movimento circular uniforme, qual é o número de voltas por minuto que o ciclista impõe aos pedais durante esse movimento?
Considere π = 3.

Resolução aqui

Resolução do desafio anterior: 

Duas partículas, A e B, partem de um mesmo ponto C de uma circunferência. Elas realizam movimentos uniformes, no mesmo sentido, cujos períodos são, respectivamente 2 s e 5 s. As partículas passarão simultaneamente pela posição C, depois de um intervalo de tempo mínimo igual a:

a) 2 s        b) 5 s        c) 7 s        d) 10 s        e) 15 s

A partícula A volta à posição C nos instantes: 2 s, 4 s, 6 s, 8 s, 10 s, 12 s, ... A partícula B volta à posição C nos instantes: 5 s, 10 s, 15 s, 20 s,... Assim, as partícula A e B passarão simultaneamente pela posição C depois de um intervalo de tempo mínimo igual a 10 s. Observe que 10 s é o mínimo múltiplo comum de 2 s e 5 s.

Resposta: d