Caiu no vestibular

Haste em equilíbrio

(OBF)
Uma haste leve é apoiada nos pontos A e B; do seu extremo direito pende um balde com 50L de água e, do seu extremo esquerdo, pende outro balde com 10L de água, por meio de fios de massas desprezíveis, conforme o desenho. As massas dos baldes podem também ser desconsideradas.

Quais a mínima e a máxima quantidades de água que devem ser transferidas do balde da direita para o da esquerda, para que o sistema esteja em equilíbrio?

Resolução:

Na figura abaixo representamos as forças que agem na haste:

O peso de cada balde é proporcional ao respectivo volume de água que ele contém, uma vez que as massas dos baldes são desconsideradas. De fato, sendo d a densidade da água, podemos escrever:

P = m.g => P = d.V.g => P = K.V

Assim, a soma dos pesos dos baldes contendo água é: P₁ + P₂ = K.60 (1)

P₁ mínimo corresponde à haste na iminência de girar em torno de B, ou seja Y_A = 0. (Na iminência de girar em torno de B a haste perde contato com o apoio A)

Impondo soma algébrica dos momentos nula em relação a B, vem:

M_B = M_P1 + M_P2 = 0 => P₁.1,60 - P₂.0,40 = 0 => P₂ = 4.P₁

Substituindo em (1), temos:

P₁ + 4.P₁ = K.60 => P₁ = K.12 

Portanto, o peso do balde da esquerda é proporcional a 12L de água. Isso significa que o balde da esquerda deve conter 12L de água. Como ele já possuía 10L de água, teremos que transferir do balde da direita para o da esquerda 2L de água. 

P₁ máximo corresponde à haste na iminência de girar em torno de A, ou seja Y_B = 0. (Na iminência de girar em torno de A a haste perde contato com o apoio B)

Impondo soma algébrica dos momentos nula em relação a A, vem:

M_A = M_P1 + M_P2 = 0 => P₁.0,60 - P₂.1,40 = 0 => P₂ = (0,60/1,40).P₁

Substituindo em (1), temos: 

P₁ + (0,60/1,40).P₁ = K.60 => P₁ = K.42

Portanto, o peso do balde da esquerda é proporcional a 42L de água. Isso significa que  o balde da esquerda deve conter 42L de água. Como ele já possuía 10L de água, teremos que transferir do balde da direita para o da esquerda 32L de água.

Resposta:  
As quantidades mínima e máxima de água que devem ser transferidas do balde da direita para o da esquerda, para que o sistema esteja em equilíbrio, são, respectivamente, 2L e 32L.