Caiu no vestibular

Carrinhos subindo rampas

(UFF-RJ)
Dois carrinhos idênticos, ambos de massa m, são colocados em repouso num plano horizontal, comprimindo uma mola, conforme mostra a figura. A mola é mantida comprimida por uma linha fina, de massa desprezível, amarrada aos dois carrinhos, mas a mola não está presa a eles. Rompe-se a linha e os dois carrinhos movem-se em sentidos opostos e sobem as rampas ilustradas na figura, até atingirem uma altura máxima h₀. Numa segunda experiência, uma massa desconhecida X é adicionada ao carrinho A. Os dois carrinhos são recolocados nas mesmas posições, comprimindo a mesma mola de forma idêntica à situação anterior. Entretanto, nessa segunda experiência, após o rompimento da linha, apenas a altura máxima h_B atingida pelo carrinho B é medida.
Considere que a aceleração da gravidade é g e que a massa da mola e o atrito entre os carrinhos e a superfície onde eles se deslocam são, ambos, desprezíveis.

a) Determine a energia potencial elástica inicialmente armazenada na mola em termos de m, g e h₀.

b) Na 2ª experiência, os carrinhos A e B atingem velocidades, respectivamente, v_A e v_B imediatamente após a mola alcançar sua posição relaxada. Determine a razão v_A/v_B em função de m e x.

c) Determine o valor da massa desconhecida x em termos de m, h₀ e h_B.

Resolução:

a) A energia potencial elástica inicialmente armazenada na mola se transforma na energia potencial gravitacional dos carrinhos ao atingirem a altura h₀:

E_elást = E_PA + E_PB = m.g.h₀ + m.g.h₀ => E_elást = 2.m.g.h₀

b) Vamos considerar o 2º experimento. A quantidade de movimento inicial do sistema é nula. (Q_a = 0) Depois de a mola alcançar a posição relaxada, a quantidade de movimento do sistema é a soma das quantidades de movimento dos carrinhos A e B. 

Q_d = (m+x).v_A + m.v_B)

Pela conservação da quantidade de movimento, resulta:

Q_a = Q_d => 0 = (m+x).v_A + m.v_B => (m+x).v_A = -m.v_B 

Em módulo, temos: 

(m+x).v_A = m.v_B => v_A/v_B = m/(m+x)

c) A energia potencial elástica do sistema, no segundo experimento, transforma-se na energia cinética dos carrinhos A e B. A energia cinética de B se transforma em energia potencial gravitacional na posição de altura h_B.

 E_elást = (m+x).(v_A)²/2 + m.(v_B)²/2 (1)

Sendo: E_elást = 2.m.g.h₀; m.(v_B)²/2 = m.g.h_B e (v_B)² = 2.g.h_B; 
v_A = m/(m+x).v_B, temos em (1)

2.m.g.h₀ = (m+x).(m/m+x)².2.g.h_B + m.g.h_B
2.h₀ = m.(m+x)/h_B + h_B => 2.h₀ = h_B.(2m+x)/(m+x) =>
2.h₀.m + 2.h₀.x = 2.h_B.m + h_B.x =>
2.m.(h₀ - h_B) = x.(h_B - 2.h₀) =>
x = [2.m.(h₀ - h_B)/(h_B - 2.h₀)] => x = m.(h_B - h₀)/(h₀ - h_B/2)

Respostas:

a) E_elást = 2.m.g.h₀
b) v_A/v_B = m/(m+x)
c)  x = m.(h_B - h₀)/(h₀ - h_B/2)