Caiu no vestibular

Lance livre

(UDESC)
Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está situado a uma distância de 4,0 m da linha de lançamento e a uma altura de 3,0 m do solo, conforme a figura. A bola é lançada sempre a uma altura de 2,0 m do solo. No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de 5,0 m/s, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e não atinge a cesta. No segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade desconhecida, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e atinge a cesta.
Dados:
cos 30° = 0,86; sen 30° = 0,50; tg 30° = 0,57; cos² 30° = 0,75.

a) Determine o instante em que a altura máxima é atingida pela bola no primeiro lançamento.
b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.
c) Determine a velocidade inicial da bola no segundo lançamento. 

Resolução:

a) No instante em que a altura máxima é atingida pela bola no primeiro lançamento, a componente vertical da velocidade (v_y) é nula:

v_y = v_0y - g.t => v_y = v₀.sen 30º - g.t => 0 = 5,0.0,50 - 10.t => t = 0,25 s

b) Cálculo da altura máxima atingida no primeiro lançamento:

y = y₀ + v_0y.t - g/2.t² => y = y₀ + (v₀.sen 30º).t - g/2.t² =>
y = 2,0 + 5,0.0,50.t - 5.t² => y = 2,0 + 2,5.t - 5,0.t²

Para t = 0,25 s tem-se: y = H

H = 2,0 + 2,5.0,25 - 5,0.(0,25)² => H ≅ 2,3 m

Se a altura da cesta é de 3,0 m e a altura máxima atingida no primeiro lançamento é de 2,3 m, concluímos que a bola não atinge a cesta.

c) Se no segundo lançamento a bola atinge a cesta, devemos ter: 
x = 4,0 m e y = 3,0 m

O movimento horizontal é uniforme:

x = v_x.t => x = (v₀.cos 30º).t => x = (v₀.0,86).t => 4,0 = (v₀.0,86).t => 
v₀.t ≅ 4,7 m

O movimento vertical é uniformemente variado:

y = y₀ + v_0y.t - g/2.t² => y = y₀ + (v₀.sen 30º).t - g/2.t² =>
3,0 = 2,0 + 0,50.v₀.t - 5.t² => 3,0 = 2,0 + 0,50.4,7 - 5,0.t² => 
5,0.t² = 1,35 => t ≅ 0,52 s

De v₀.t ≅ 4,7, vem: v₀.0,52 ≅ 4,7 => v₀ ≅ 9,0 m/s