Caiu no vestibular

Vindos do espaço sideral

(FUVEST)
Alienígenas desejam observar o nosso planeta. Para tanto, enviam à Terra uma nave N, inicialmente ligada a uma nave auxiliar A, ambas de mesma massa. Quando o conjunto de naves se encontra muito distante da Terra, sua energia cinética e sua energia potencial gravitacional são muito pequenas, de forma que a energia mecânica total do conjunto pode ser considerada nula. Enquanto o conjunto é acelerado pelo campo gravitacional da Terra, sua energia cinética aumenta e sua energia potencial fica cada vez mais negativa, conservando a energia total nula. Quando o conjunto N-A atinge, com velocidade V₀ (a ser determinada), o ponto P de máxima aproximação da Terra, a uma distância R₀ de seu centro, um explosivo é acionado, separando N de A. A nave N passa a percorrer, em torno da Terra, uma órbita circular de raio R₀, com velocidade V_N (a ser determinada). A nave auxiliar A, adquire uma velocidade V_A (a ser determinada). Suponha que a Terra esteja isolada no espaço e em repouso.

Determine, em função de M, G e R₀,
 
a) a velocidade V₀ com que o conjunto atinge o ponto P.
b) a velocidade V_N, de N, em sua órbita circular.
c) a velocidade V_A, de A, logo após se separar de N.
 
Note/Adote

1) A força de atração gravitacional F entre um corpo de massa m e o planeta Terra, de massa M, é dada por: F = GMm/R² = mgR.

2) A energia potencial gravitacional Ep do istema formado pelo corpo e pelo planeta Terra, com referencial de potencial zero no infinito, é dada por: Ep = -GMm/R.

G: constante universal da gravitação.
R: distância do corpo ao centro da Terra.
g_R: aceleração da gravidade à distância R do centro da Terra.
 
Resolução:

a) Seja m a massa de cada nave. Vamos aplicar a conservação da energia total:
Energia total das naves num ponto bem distante da Terra = Energia total em P

O = -GM2m/R₀ + 2m.(V₀)²/2 => V₀ = (2GM/R₀)^1/2
 
b) No movimento da nave N, em torno da Terra, numa órbita circular de raio R₀, com velocidade V_N, a força de atração gravitacional é a resultante centrípeta:
 
F_G = F_cp => GMm/(R₀)² = m.(V_N)²/R₀ => V_N = (GM/R₀)^1/2
 
c) Conservação da quantidade de movimento imediatamente antes e imediatamente após a explosão:
 
2m.V₀ = m.V_N + m.V_A => V_A = 2V₀ – V_N =>
V_A = 2.(2GM/R₀)^1/2 - (GM/R₀)^1/2 => 
V_A = (8GM/R₀)^1/2 - (GM/R₀)^1/2 => 
V_A = (GM/R₀)^1/2.(√8-1)

Respostas:
a) V₀ = (2GM/R₀)^1/2 
b) V_N = (GM/R₀)^1/2 
c) V_A = (GM/R₀)^1/2.(√8-1)
xxxxx