Preparando-se para as provas

Calculando velocidade e aceleração escalares por derivada

Borges e Nicolau

A velocidade escalar média é dada por:

Para determinarmos a velocidade escalar instantânea na posição cujo espaço é s₁, podemos escolher s₂ cada vez mais próximo de s₁ e calcular os quocientes Δs/Δt.

À medida que s₂ fica mais próximo de s₁, diminui a variação de espaço

Δs = s₂ – s₁, assim como o intervalo de tempo Δt = t₂ – t₁.

Quando t₂ tende a t₁, isto é, Δt tende a zero, a variação de espaço
Δs = s₂ – s₁ também tende a zero. Porém o quociente Δs/Δt não é necessariamente pequeno, assumindo um determinado valor limite. Esse valor limite é a velocidade escalar instantânea na posição cujo espaço é s₁, ou seja, é a velocidade escalar no instante t₁. Assim:

A velocidade escalar num instante t  é o valor limite a que tende Δs/Δt, quando Δt tende a zero. Representa-se por:

O limite de Δs/Δt  quando Δt tende a zero recebe o nome de derivada do espaço em relação ao tempo e indica-se por ds/dt. Portanto,

v = ds/dt.

A derivada em relação ao tempo de s = m.tⁿ é v = n.m.t^n-1, isto é, a partir de sx=xm.tⁿ obtemos diretamente v por meio da seguinte regra: multiplica-se o expoente n pelo coeficiente m de tⁿ e subtrai-se uma unidade do expoente n.

A derivada de s = constante é v = 0. Portanto, a derivada de uma constante é nula.

Por exemplo, considere a função horária dos espaços de um móvel:

s = 4 + 5.t + 3. t² (SI)

Vamos derivar e obter a função horária da velocidade escalar:

v = 0 + 1.5.t^1-1 + 2.3.t^2-1

v = 5 + 6t (SI)

A aceleração escalar α num certo instante é a derivada da velocidade escalar:

α = dv/dt

No exemplo anterior, temos v = 5 + 6t (SI). Portanto, por derivada obtemos:

α = o + 1.6.t^1-1

α = 6 m/s²

Exercícios básicos

Exercício 1
Dada a função horária dos espaços de um móvel, em unidades do SI, obtenha as funções horárias da velocidade escalar e da aceleração escalar, nos casos:

a) s = 5 + 4t⁴ + 2t³  - 7t²  + 10t

b) s = 12.t³

c) s = -6 + 4t + 2t²

d) s = 5 + 4t

Exercício 2
O espaço de um móvel varia com o tempo segundo a função:
s = 5 + 2t² (SI). Determine a velocidade escalar e a aceleração escalar do móvel no instante t = 1s.

Exercício 3

O espaço de um móvel varia com o tempo segundo a função:
s = 5 + 6t - (5/2)t² + (1/3)t³ (SI). Em que instantes a velocidade escalar se anula?