Cursos do Blog - Mecânica

É o atrito que possibilita a um carro parar quando freado

25ª aula
Atrito dinâmico

Borges e Nicolau

Uma pessoa está puxando uma caixa de peso P ao longo do solo horizontal aplicando na caixa uma força horizontal F.
As superfícies em contato (caixa e solo) apresentam rugosidades, não são perfeitamente lisas como consideramos nos capítulos anteriores.
Por isso, o solo exerce na caixa uma força F_at que se opõe ao movimento.

A força que o solo exerce na caixa e que se opõe ao movimento recebe o nome de força de atrito dinâmico.

Na figura abaixo representamos as forças que agem na caixa. Observe que a força resultante que o solo aplica na caixa é R, soma vetorial de F_at e F_N. Assim, F_at e F_N são as componentes tangencial e normal da força R.

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Verifica-se experimentalmente que a intensidade da força de atrito dinâmico é diretamente proporcional à intensidade da força normal F_N:

F_at = μ_d.F_N

O coeficiente de proporcionalidade μd é chamado coeficiente de atrito dinâmico ou coeficiente de atrito cinético. Ele é adimensional e depende da natureza dos materiais em contato.
 
Exercícios básicos:

Exercício 1:
Um bloco de massa 1,0 kg desloca-se numa mesa horizontal sob ação de uma força horizontal de intensidade F = 10 N. O coeficiente de atrito dinâmico entre a mesa e o bloco é igual a 0,50. Considere g = 10 m/s².

a) Determine a aceleração do bloco.
b) Supondo que o bloco partiu do repouso qual é sua velocidade após
percorrer 2,5 m?

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Exercício 2:
Um bloco de massa 0,80 kg  desloca-se numa mesa horizontal sob ação de uma força horizontal de intensidade F = 6,0 N, realizando um movimento retilíneo e uniforme. Considere g = 10 m/s². Determine:
 
a) As intensidades das forças de atrito e normal que a mesa aplica no bloco.
b) A intensidade da força resultante que a mesa aplica no bloco.
c) O coeficiente de atrito dinâmico.

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Exercício 3:
Dois blocos A e B de massas m = 1,0 kg e M = 2,0 kg, respectivamente, estão em movimento  apoiados numa superfície horizontal. A força horizontal constante aplicada ao bloco A tem  intensidade F = 12 N . O coeficiente de atrito entre os blocos e a mesa é igual a 0,30.

Calcule a intensidade da aceleração a dos blocos e a intensidade da força que  A exerce em B.

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Exercício 4:
Dois blocos A e B de massas m = 1,0 kg e M = 2,0 kg, respectivamente, estão apoiados numa superfície horizontal e ligados por um fio ideal. Uma força horizontal constante de intensidade F = 12 N é aplicada ao bloco B e o conjunto entra em movimento. Determine a intensidade da aceleração dos blocos e a intensidade da força de tração no fio. Há atrito entre os blocos e a superfície, sendo o coeficiente de atrito dinâmico igual a 0,20.

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Exercício 5:
Considere dois blocos A e B de massas m = 2,0 kg e M = 3,0 kg, respectivamente. O bloco A está apoiado numa superfície horizontal e é ligado, por um fio ideal, ao bloco B que se move verticalmente. Considere g = 10 m/s². Sabendo-se que intensidade da aceleração dos blocos é igual a 3,0 m/s², determine o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco A e a superfície horizontal e a intensidade da força de tração no fio.

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Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(Mackenzie)
Um aluno observa em certo instante um bloco com velocidade de 5 m/s sobre uma superfície plana e horizontal. Esse bloco desliza sobre essa superfície e para após percorrer 5 m. Sendo g = 10 m/s², o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é

a) 0,75   b) 0,60   c) 0,45   d) 0,37   e) 0,25

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Revisão/Ex 2:
(UFLA-MG)
Um trator utiliza uma força motriz de 2000 N e arrasta, com velocidade constante, um tronco de massa 200 kg ao longo de um terreno horizontal e irregular. Considerando g = 10 m/s², é correto afirmar que o coeficiente de atrito cinético μ entre o tronco e o terreno é:

a) 1,0 
b) 0,5 
c) 0,25 
d) zero  

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Revisão/Ex 3:
(Unimontes-MG)
A figura abaixo mostra um bloco de massa M que é arrastado a partir do repouso, por um cabo, quando uma força de módulo F é aplicada. O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e a horizontal é μ. Considerando que o módulo da aceleração da gravidade é g, a velocidade do bloco em função do tempo, V(t), durante a atuação de F, é igual a

a) (F/M) - μ.g.t
b) F.t - μ.g.t   
c) (F/M).t - μ.g.t  
d) (F/M).t - μ.g    

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Revisão/Ex 4:
(UFPB)
Dois blocos A e B de massas m_A = 6 kg e m_B = 4 kg, respectivamente, estão apoiados sobre uma mesa horizontal e movem-se sob a ação de uma força F de módulo 60 N, conforme representação na figura a seguir.

Considere que o coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo A e a mesa é μ_A = 0,2 e que o coeficiente entre o corpo B e a mesa é μ_B = 0,3. Com base nesses dados, o módulo da força exercida pelo bloco A sobre o bloco B é:
 
a) 26,4 N  
b) 28,5 N  
c) 32,4 N  
d) 39,2 N  
e) 48,4 N

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Revisão/Ex 5:
(UFPR)
No sistema representado na figura abaixo, o corpo B de massa M = 8,1 kg desce com velocidade constante. O coeficiente de atrito cinético entre o corpo A de massa m e a superfície horizontal é 0,30. Determine, em quilogramas, o valor de m.

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v
Desafio:

Na figura 1, um bloco de massa m é lançado com velocidade v₀ do topo A de um plano inclinado, atingindo o ponto B do plano, com velocidade nula. Considere dados: o coeficiente de atrito μ entre o bloco e o plano, sen θ, cos θ e a velocidade v₀. Determine a velocidade v com que o bloco deve ser lançado de B, para que atinja o ponto A com velocidade nula (figura 2).

A resolução será publicada na próxima segunda-feira.

Resolução do desafio anterior: 

Na máquina de Atwood esquematizada, o bloco A tem massa 2,0 kg.

Quando o sistema é abandonado do repouso, o bloco B desce 1,0 m em 1,0 s, sem colidir com o solo. Considerando os fios e a polia ideais e adotando g = 10 m/s², determine:

a) a massa do bloco B;
b) a intensidade da força de tração no fio que sustenta a polia.
 

Resolução:

a) Vamos, inicialmente, calcular a aceleração escalar do bloco B que é a mesma do sistema de blocos. Sendo o  movimento é uniformemente variado, podemos escrever:

s = α.t²/2 => 1,0 = α.(1,0)²/2 => α = 2,0 m/s²
 
Como o movimento é retilíneo, a aceleração centrípeta de B é nula e sua aceleração coincide com a aceleração tangencial, que é igual ao módulo de α. Assim, temos:

a = IαI => a = 2,0 m/s²

Isolando os blocos A e B e a polia, temos as forças:

PFD (A): T-m_A.g = m_A.a => T-2,0.10 = 2,0.2,0 => T = 24 N
PFD (B): m_B.g-T = m_B.a => 10.m_B-24 = 2,0.m_B => m_B = 3,0 kg
 
b) Polia ideal: T’ = 2T => T’ = 48 N

Respostas: a) 3,0 kg;  b) 48 N

Arte do Blog

I and the village

Marc Chagall

Pintor, gravador e vitralista, Marc Chagall (pseudônimo de Moïshe Zakharovich Shagalov) nasceu em 7 de julho de 1887 em uma família pobre, de dez filhos. Iniciou-se na pintura no ateliê de um retratista das pessoas notáveis de sua cidade natal, Vitebsk.

Chagall estudou na Academia de Arte de São Petersburgo. Seguindo para Paris em 1910, ligou-se aos poetas Blaise Cendrars, Max Jacob e Apollinaire - e aos pintores Delaunay, Modigliani e La Fresnay.

Marc Chagall trabalhou intensamente para integrar o seu mundo de reminiscências e fantasias na linguagem moderna derivada do fauvismo e do cubismo. Apollinaire escolheu as telas de Chagall para a exposição que realizou em 1914, em Berlim, na galeria Der Sturm. Essa exposição teve grande influência sobre o expressionismo de pós-guerra.

  The fiddler

De volta à Rússia, quando explode a Primeira Guerra Mundial, Chagall é mobilizado, mas permanece em São Petersburgo. Em 1915, casa-se com Bella, que conhecera em sua cidade natal e de quem pintara o retrato antes de partir para a Europa.

Quando irrompe a Revolução de 1917, Chagall é nomeado comissário de belas artes do governo de Vitebsk. Funda uma escola aberta a todas as tendências, mas entra em conflito com Kasimir Malevitch e se demite. Pinta murais para a sala e o foyer do teatro judeu de Moscou.

Cow with parasol

Chagall retornou a Paris em 1922. Por encomenda de Ambroise Vollard, executou 96 gravuras para uma edição de "Almas mortas", de Gogol. Em 1927 ilustrou as "Fábulas" de La Fontaine (um conjunto de cem gravuras). São dessa fase suas primeiras paisagens e quadros, que renovam o tema lírico das flores. Em 1931, visitou a Palestina e a Síria e publicou "Minha vida" (autobiografia).

The promenade

A partir de 1935, o clima de perseguição e de guerra repercute em sua pintura, onde surgem elementos dramáticos, sociais e religiosos. Em 1941, parte para os EUA, onde sua esposa falece (1944). Chagall mergulha, então, em um mundo de evocações, quando conclui o quadro "Em torno dela", que se tornou uma síntese de todos os seus temas.

No âmbito da arte contemporânea, marcada pelo formalismo e a abstração, a pintura de Chagall se destaca pela importância que tem nela o elemento temático, de fundo onírico, que, por sua vez, reflete as profundas raízes afetivas e culturais do artista. Sua obra, moderna, assimilou todas as conquistas formais da arte contemporânea.

Em 1957, a 4ª Bienal de São Paulo dedicou uma sala especial às obras de Chagall.

Marc Chagall morreu em 28 de março de 1985.
Fonte: Enciclopédia Mirador Internacional

The birthday

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Rumo ao ENEM

Olá pessoal. Continuando a série de questões do ENEM, apresentamos hoje Estática e Gravitação. Tente resolver antes de consultar as respostas.

Borges e Nicolau

Estática e Gravitação

Questão 1:

Um portão está fixo em um muro por duas dobradiças A e B, conforme mostra a figura, sendo P o peso do portão.

Caso um garoto se dependure no portão pela extremidade livre, e supondo que as reações máximas suportadas pelas dobradiças sejam iguais,

a) é mais provável que a dobradiça A arrebente primeiro que a B.
b) é mais provável que a dobradiça B arrebente primeiro que a A.
c) seguramente as dobradiças A e B arrebentarão simultaneamente.
d) nenhuma delas sofrerá qualquer esforço.
e) o portão quebraria ao meio, ou nada sofreria.

Resolução:

O torque (momento) provocado pelo peso do garoto tende a girar o portão no sentido horário. Nessas condições, a dobradiça A está sujeita a um esforço de tração e a B de compressão. Como uma dobradiça resiste mais a uma compressão do que a uma tração, é provável que a dobradiça A arrebente primeiro.

Resposta: a

Testes 2 e 3

Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único objeto disponível para pesagem é uma balança de dois pratos, sem os pesos metálicos.

                             
Teste 2:

Realizando uma única pesagem, é possível montar pacotes de:

a) 3 kg
b) 4 kg
c) 6 kg
d) 8 kg
e) 12 kg

Resolução:

O único objeto disponível para pesagem é uma balança de dois pratos. Despeje  o pacote de 24 kg em um dos pratos da balança; vá passando, aos poucos,  quantidades do prato de 24 kg para o outro, até a balança ficar em equilíbrio. Assim, teremos em cada prato 24 kg/2 = 12 kg de açúcar.
Portanto, realizando uma única pesagem, só é possível montar pacotes de
12 kg.

Resposta: e

Teste 3:

Realizando exatamente duas pesagens, os pacotes que podem ser feitos são os de:

a) 3 kg e 6 kg
b) 3 kg, 6 kg e 12 kg
c) 6 kg, 12 kg e 18 kg
d) 4 kg e 8 kg
e) 4 kg, 6 kg e 8 kg

Resolução:

Na primeira pesagem, só é possível montar pacotes de 12 kg, como já foi descrito na questão anterior. Repetindo o mesmo processo, na segunda pesagem, podem ser obtidos pacotes de 6 kg. Juntando um pacote de 6 kg
com um de 12 kg, é possível montar um terceiro tipo de pacote com
12 kg + 6 kg = 18 kg de açúcar.

Resposta: c

Questão 4:

Em um experimento, um professor levou para a sala de aula um saco de arroz, um pedaço de madeira triangular e uma barra de ferro cilíndrica e homogênea. Ele propôs que fizessem a medição da massa da barra utilizando esses objetos. Para isso, os alunos fizeram marcações na barra, dividindo-a em oito partes iguais, e em seguida apoiaram-na sobre a base triangular, com o saco de arroz pendurado em uma de suas extremidades, até atingir a situação de equilíbrio.

Nessa situação, qual foi a massa da barra obtida pelos alunos?

a) 3,00 kg  b) 3,75 kg  c) 5,00 kg  d) 6,00 kg  e) 15,00 kg

Resolução:

Forças que agem  na barra:

Soma dos momentos nula, em relação ao ponto O:

P_arroz . 3u -  P_barra . 1u = 0
P_barra . 1u = P_arroz . 3u
m_barra . g = m_arroz . g . 3
m_barra = 3 . 5,00

m_barra = 15,00 kg

Resposta: e

Questão 5:

O mecanismo que permite articular uma porta (de um móvel ou de acesso) é a dobradiça. Normalmente, são necessárias duas ou mais dobradiças para que a porta seja fixada no móvel ou no portal, permanecendo em equilíbrio e podendo ser articulada com facilidade. No plano, o diagrama vetorial das forças que as dobradiças exercem na porta está representado em

Resolução:

A porta tende a girar no sentido horário. Com isso ela traciona, horizontalmente, a dobradiça superior e comprime, horizontalmente, a dobradiça inferior.
Essas dobradiças reagem na porta com as forças H₁ e H₂, respectivamente, indicadas abaixo. Além disso, na vertical, a porta recebe as forças V₁ e V₂ que, somadas, equilibram o peso da porta.

Esquema de forças nas regiões das dobradiças e as respectivas resultantes
R₁ e R₂.

Resposta: d

Questão 6:

Na linha de uma tradição antiga, o astrônomo grego Ptolomeu (100-170 d.C.) afirmou a tese do geocentrismo, segundo a qual a Terra seria o centro do universo, sendo que o Sol, a Lua e os planetas girariam em seu redor em órbitas circulares. A teoria de Ptolomeu resolvia de modo razoável os problemas astronômicos da sua época. Vários séculos mais tarde, o clérigo e astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473-1543), ao encontrar inexatidões na teoria de Ptolomeu, formulou a teoria do heliocentrismo, segundo a qual o Sol deveria ser considerado o centro do universo, com a Terra, a Lua e os planetas girando circularmente em torno dele. Por fim, o astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630), depois de estudar o planeta Marte por cerca de trinta anos, verificou que a sua órbita é elíptica. Esse resultado generalizou-se para os demais planetas.
A respeito dos estudiosos citados no texto, é correto afirmar que

a) Ptolomeu apresentou as ideias mais valiosas, por serem mais antigas e tradicionais.
b) Copérnico desenvolveu a teoria do heliocentrismo inspirado no contexto político do Rei Sol.
c) Copérnico viveu em uma época em que a pesquisa científica era livre e amplamente incentivada pelas autoridades.
d) Kepler estudou o planeta Marte para atender às necessidades de expansão econômica e científica da Alemanha.
e) Kepler apresentou uma teoria científica que, graças aos métodos aplicados, pôde ser testada e generalizada.

Resolução:

Kepler (1571-1630), estudou durante trinta anos o planeta Marte, concluindo que sua órbita não era circular, mas sim elíptica. A teoria científica, por ele apresentada, pôde ser testada e generalizada ao demais planetas.

Resposta: e

Questão 7:

O ônibus espacial Atlantis foi lançado ao espaço com cinco astronautas a bordo e uma câmera nova, que iria substituir uma outra danificada por um curto-circuito no telescópio Hubble. Depois de entrarem em órbita a 560 km de altura, os astronautas se aproximaram do Hubble. Dois astronautas saíram da Atlantis e se dirigiram ao telescópio.
Ao abrir a porta de acesso, um deles exclamou: "Esse telescópio tem a massa grande, mas o peso é pequeno."

Considerando o texto e as leis de Kepler, pode-se afirmar que a frase dita pelo astronauta

a) se justifica porque o tamanho do telescópio determina a sua massa, enquanto seu pequeno peso decorre da falta de ação da aceleração da gravidade.
b) se justifica ao verificar que a inércia do telescópio é grande comparada à dele próprio, e que o peso do telescópio é pequeno porque a atração gravitacional criada por sua massa era pequena.
c) não se justifica, porque a avaliação da massa e do peso de objetos em órbita tem por base as leis de Kepler, que não se aplicam a satélites artificiais.
d) não se justifica, porque a força-peso é a força exercida pela gravidade terrestre, neste caso, sobre o telescópio e é a responsável por manter o próprio telescópio em órbita.
e) não se justifica, pois a ação da força-peso implica a ação de uma força de reação contrária, que não existe naquele ambiente. A massa do telescópio poderia ser avaliada simplesmente pelo seu volume.

Resolução:

A força que mantém o telescópio  em órbita é a força gravitacional que a Terra exerce sobre ele. Esta força foi chamada impropriamente de força peso. Ela tem grande intensidade, já que a massa do telescópio é grande e a aceleração da gravidade nos pontos da órbita do telescópio corresponde aproximadamente a 90% da aceleração da gravidade na superfície terrestre. Por isso, a frase dita pelo astronauta não se justifica.

Observação:
Um corpo em órbita, está em uma constante “queda livre” (a = g). Nessa situação seu peso aparente é nulo. Por isso os astronautas, no interior de uma nave, flutuam.

Resposta: d

Questão 8:

A característica que permite identificar um planeta no céu é o seu movimento relativo às estrelas fixas. Se observarmos a posição de um planeta por vários dias, verificaremos que sua posição em relação às estrelas fixas se modifica regularmente. A figura destaca o movimento de Marte observado em intervalos de 10 dias, registrado da Terra.

Projecto física. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1980 (adaptado).

Qual a causa da forma da trajetória do planeta Marte registrada na figura?

a) A maior velocidade orbital da Terra faz com que, em certas épocas, ela ultrapasse Marte.
b) A presença de outras estrelas faz com que sua trajetória seja desviada por meio da atração gravitacional.
c) A órbita de Marte, em torno do Sol, possui uma forma elíptica mais acentuada que a dos demais planetas.
d) A atração gravitacional entre a Terra e Marte faz com que este planeta apresente uma órbita irregular em torno do Sol.
e) A proximidade de Marte com Júpiter, em algumas épocas do ano, faz com que a atração gravitacional de Júpiter interfira em seu movimento.

Resolução:

Estando a Terra mais próxima do Sol que o planeta Marte, sua velocidade de translação é maior que a de Marte. 
Imagine Marte deslocando-se na "frente" da Terra. Em relação a um observador na Terra,  Marte se aproxima. A partir de determinado instante, o observador na Terra vê Marte se afastando, isto é, Marte vai ficando para trás.

Em relação à Terra Marte se aproxima

Em certas épocas, a Terra ultrapassa Marte.

Em relação à Terra Marte se afasta.

Fonte: Web Sillabus. Dept. Physics & Astronomy. Universe of Tenessy

Resposta: a

Questão 9:

Dois satélites artificiais, S₁ e S₂, de massas M e 2M, respectivamente, estão em órbita ao redor da Terra e sujeitos ao seu campo gravitacional. Quando o satélite S₁ passa por um determinado ponto do espaço, sua aceleração é de 7,0 m/s².

Qual será a aceleração do satélite S₂ quando ele passar pelo mesmo ponto?

a) 3,5 m/s²
b) 7,0 m/s²
c) 9,8 m/s²
d) 14 m/s²
e) 49 m/s²

Resolução:

A força que age num satélite em órbita da Terra, tem intensidade dada por:
F = G.M.m/d², onde M é a massa da Terra, m a massa do satélite, d a distância do satélite ao centro da Terra e G a constante de gravitação universal. Pela segunda lei de Newton, temos:

F = G.M.m/d² = m.a => a = G.M/d²

Note que a massa do satélite cancela e, portanto,  para o mesmo valor de d a aceleração é a mesma.

Resposta: b

Questão 10: 

A tabela abaixo resume alguns dados importantes sobre os satélites de Júpiter.
Ao observar os satélites de Júpiter pela primeira vez, Galileu Galilei fez diversas anotações e tirou importantes conclusões sobre a estrutura de nosso universo. A figura abaixo reproduz uma anotação de Galileu referente a Júpiter e seus satélites.

De acordo com essa representação e com os dados da tabela, os pontos indicados por 1, 2, 3 e 4 correspondem, respectivamente, a:

a) Io, Europa, Ganimedes e Calisto.
b) Ganimedes, Io, Europa e Calisto.
c) Europa, Calisto, Ganimedes e Io.
d) Calisto, Ganimedes, Io e Europa.
e) Calisto, Io, Europa e Ganimedes.

Resolução:

As correspondências só podem ser obtidas levando-se em conta as distâncias dos satélites em relação ao planeta: Assim, temos:

1. => Ganimedes
2. => Io
3. => Europa
4. => Calisto

Resposta: b

Física Animada