Leituras do Blog

Empilhando placas "paca"

Professor Carlos Magno Torres

Temos n placas de vidro, idênticas à da figura 1 nas dimensões e na massa, que devem ser empilhadas de um modo incomum e ousado!... Isso também pode ser feito com as cartas de um baralho comum. Vejamos.
 

Vamos supor que você coloque apenas uma placa sobre uma mesa horizontal, de modo que ela fique na iminência de cair. Isso ocorrerá se o centro de gravidade da placa estiver exatamente sobre a borda da mesa, como na figura 2. Se ℒ é o comprimento total da placa, teremos um excesso e1 = 1/2 ℒ  para fora da borda da mesa.

Agora vamos colocar uma segunda placa sobre a primeira, de modo que o conjunto também fique equilibrado na iminência de cair. A condição que deve ser satisfeita é a mesma de antes: o centro de gravidade do conjunto formado pelas duas placas deve ficar sobre a borda da mesa. Para isso devemos empurrar a primeira placa um pouco para dentro da mesa. Mas... quanto é “um pouco”?. Como as placas são idênticas, o centro de gravidade do conjunto, que está no ponto médio dos centros de gravidade das duas placas, também deverá estar exatamente sobre a borda da mesa, como na figura 3.
Assim, devemos ter  e1 = 1/2 ℒ  e  e2 = 1/4 ℒ.

Ao colocarmos uma terceira placa teremos a situação mostrada na figura 4, com e1 = 1/2 ℒ, e2 = 1/4 ℒ e e3 = 1/6 ℒ. Sempre obedecendo à mesma condição.

Bom..., só mais uma para “pegarmos” a sequência. A figura 5 mostra a posição de equilíbrio de quatro placas, com e4 = 1/8 ℒ.

Percebeu a lei de formação da sequência? Para um número n qualquer de placas, o n-ésimo excesso será en = (1/2n) ℒ.
Esses excessos formam a sequência: 1/2 ℒ , 1/4 ℒ, 1/6 ℒ, 1/8 ℒ, ..., 1/2n ℒ.
É interessante notar que a soma Sn dos excessos (dos ℒ’s), cresce ilimitadamente, à medida que acrescentamos mais placas. Veja:

– para uma placa S1 = e1 = 1/2 ℒ = 0,5 ℒ;
– para duas placas S2 = e1 + e2 = 1/2 ℒ + 1/4 ℒ = 3/4 ℒ = 0,75 ℒ;
– para três placas S3 = e1 + e2 + e3 = 1/2 ℒ + 1/4 ℒ + 1/6 ℒ = 11/12 ℒ = 0,917  ℒ;
– para quatro placas S4 = e1 + e2 + e3 + e4 = 1/2 ℒ + 1/4 ℒ + 1/6 ℒ + 1/8 ℒ = 25/24 ℒ = 1,042 ℒ.

Como se vê, com três placas, a placa superior, a “primeira”, está com 91,7% do seu comprimento para fora da borda da mesa. Com apenas quatro placas, teremos a placa superior totalmente fora da mesa! Sua extremidade esquerda está 4,2% do seu comprimento distante da borda da mesa.

Continuando o processo, somente na 25ª placa a soma dos excessos será maior que 2 ℒ (S25 = 2,029 ℒ), isto é, a extremidade direita da primeira placa estará mais de dois comprimentos ℒ para fora da borda da mesa. Representando graficamente as somas Sn temos a impressão de que a “curva” tenderá a estabilizar em algum valor, veja o gráfico abaixo. Bem, ... não é isso o que a matemática nos mostra.

A soma Sn dos n excessos pode ser obtida pelas expressões abaixo:

Sn = 1/2 ℒ + 1/4 ℒ + 1/6 ℒ + 1/8 ℒ + ... + (1/2n) ℒ ou Sn = 1/2 ℒ (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...+ 1/n).

Na expressão entre parênteses, embora cada termo adicionado seja menor que o anterior, à medida que adicionamos mais termos a soma nunca pára de crescer, isto é, a soma tende ao infinito, em símbolos escreve-se Sn ⇾ ∞.

A soma cresce muito lentamente, é verdade, mas sempre cresce! Ela não tem um limite! Isso foi provado pela primeira vez, de modo simples e genial, por um estudante francês, Nicole d’Oresme (1323 – 1382). O, também genial, matemático suíço Leonhard Euler apresentou uma prova diferente em 1748, no seu livro Introdução à Análise dos Infinitos (Introductio in Analysin Infinitorum), usando logaritmos.
A figura 6 dá uma idéia de como fica a “pilha” com n placas.
Com muita paciência e uma boa calculadora à mão, supondo que a cada segundo um termo da sequência fosse acrescido à soma, em 3 minutos e 45 segundos chegaríamos a S225 ≃ 3,00. Em um ano teríamos S31.557.600 ≃ 8,5. Em 100 anos teríamos obtido, provavelmente post mortem, S100 anos ≃ 11.
Em 1968 o matemático John Wrench Jr calculou o número exato de termos necessários para obtermos Sn = 100. Esse número é:


15.092.688. 622.113.788.323.693.563.264.538.101.449.859.497


Uau...! Como se fala isso em português?
Se um moderno computador fosse somar todos esses termos, gastando 1 nano segundo em cada soma, ele levaria cerca de 800 mols de anos! Isso dá, aproximadamente, 35.000 trilhões de vezes a idade estimada do universo!!!
Como Wrench chegou a esse resultado?!
Bem, para terminar, vamos falar de coisas possíveis. Na figura 7 mostra-se uma simulação em computador com as 52 cartas de um baralho comum

O excesso total equivale a pouco mais de duas cartas e um quarto!

E aí, ... quer tentar fazer?!

Para saber mais, visite:
http://www.pb.utfpr.edu.br/vanderlei/picme/serieharmonica.pdf
http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)

Cursos do Blog - Eletricidade

Campo e potencial de um condutor esférico

Borges e Nicolau

Campo elétrico de um condutor esférico eletrizado com carga Q

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Ponto interno (Pint)

Ponto externo (Pext)

Calcula-se o campo num ponto externo como se a carga elétrica Q fosse puntiforme e estivesse localizada no centro O da esfera.

Ponto externo e infinitamente próximo da superfície (Ppróx)

Ponto da superfície (Psup)

Potencial elétrico de um condutor esférico eletrizado com carga Q

Pontos internos e superficiais

Ponto externo

Gráficos E x d e V x d

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Exercícios básicos

Exercício 1:
Tem-se uma esfera condutora eletrizada negativamente com carga elétrica Q. Considere os pontos O, A, B e C. Seja R o raio da esfera e k0 a constante eletrostática do meio.

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a) As cargas elétricas em excesso distribuem-se ao longo do volume da esfera.
b) A intensidade do campo elétrico no ponto O é nula e no ponto A é dada por k0.IQI/(R/2)².
c) Os potenciais elétricos em A e B são respectivamente iguais a k0.Q/R/2 e k0.Q/R.
d) A intensidade do campo elétrico e o potencial elétrico no ponto externo C são calculados como se a carga Q fosse puntiforme e estivesse concentrada no centro O da esfera.
e) A diferença de potencial entre os pontos O e A é igual a k0.Q/R.

Exercício 2:
O gráfico abaixo representa a variação do potencial elétrico ao longo da semi-reta Ox, com origem no centro O da esfera metálica eletrizada com carga elétrica Q.

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Sendo k0 = 9.10⁹ N.m²/C², determine:

a) O valor da carga elétrica Q.
b) O potencial elétrico no ponto A situado a 10 cm da superfície da esfera.

Exercício 3:
O gráfico abaixo representa a variação intensidade do campo elétrico ao longo da semi-reta Ox, com origem no centro O da esfera metálica eletrizada com carga elétrica Q. Seja A um ponto externo à esfera tal que a intensidade do campo em A seja igual à intensidade do campo num ponto da superfície. Determine, em função do raio R, a distância de A ao centro O.

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Exercício 4:
Uma partícula de massa m, eletrizada com carga elétrica positiva q é lançada com velocidade v0 de um ponto A situado a uma distância 5R do centro O de uma esfera metálica eletrizada positivamente com carga elétrica Q.

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Prove que o valor de v0 para que a partícula atinja a esfera com velocidade nula é dada por:

k0 é a constante eletrostática do meio.
(Sugestão: aplique o Teorema da Energia Cinética)

Exercício 5:
Duas superfície esféricas concêntricas estão eletrizadas com cargas elétricas +5.10^-6 C e -5.10^-6 C, conforme a figura. São dados R = 10 cm e k0 = 9.10⁹ N.m²/C². Determine a intensidade do vetor campo elétrico resultante nos pontos O, A e B.

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(Sugestão: analise separadamente cada superfície esférica eletrizada e depois superponha os efeitos)

Cursos do Blog - Termologia, Óptica e Ondas

Estudo dos gases (I)

Borges e Nicolau

Gás ideal ou gás perfeito

No estudo do comportamento de um gás, consideramos o seguinte modelo:

• as moléculas do gás movimentam-se caoticamente;

• os choques entre as moléculas e contra as paredes do recipiente são perfeitamente elásticos;

• as moléculas não exercem forças entre si, exceto quando colidem;

• as moléculas apresentam volume próprio desprezível em comparação com o volume ocupado pelo gás.

O gás que obedece a este modelo é chamado gás perfeito ou gás ideal.

Um gás real submetido a altas temperaturas e baixas pressões apresenta um comportamento que se aproxima ao de um gás ideal.

Variáveis de estado

São as grandezas que caracterizam o estado de uma dada massa de gás perfeito:

Volume (V): o volume de um gás perfeito é o volume do recipiente que o contém.
Unidades: m³, litro (L), cm³.
Relações: 1 m³ = 1000 L, 1 m³ = 10⁶ cm³, 1 L = 1000 cm³.

Pressão (p): a pressão de um gás perfeito resulta do choque de suas moléculas contra as paredes do recipiente que o contém. Sendo F a intensidade da força resultante que as moléculas exercem numa parede de área A, a pressão p é a grandeza escalar p = F/A.
Unidades: 1 pascal (Pa) = 1N/m², atmosfera (atm); mmHg.
Relações: 1 atm = 10⁵ Pa; 1 atm = 760 mmHg.

Temperatura (T): É a grandeza que mede o estado de agitação das moléculas do gás. No estudo dos gases utiliza-se a temperatura absoluta kelvin (K).

Transformações particulares

a) Isobárica: pressão p constante

Variam durante a transformação: o volume V e a temperatura T.

• Lei de Charles e Gay-Lussac da transformação isobárica:

Numa transformação isobárica, de uma determinada massa gasosa, o volume V e a temperatura T são diretamente proporcionais.

V = K.T ou V/T = K (constante)

• Mudança do estado V1, p e T1 para V2, p e T2

V1/T1 = V2/T2

• Gráfico V x T

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b) Isocórica: volume V constante.

Variam durante a transformação: a pressão p e a temperatura T.

• Lei de Charles e Gay-Lussac da transformação isocórica:

Numa transformação isocórica de uma determinada massa gasosa, a pressão p e a temperatura T são diretamente proporcionais.

p = K.T ou p/T = K (constante)

• Mudança do estado V, p1 e T1 para V, p2 e T2

p1/T1 = p2/T2

• Gráfico p x T

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c) Isotérmica: temperatura T constante

Variam durante a transformação: a pressão p e o volume V

• Lei de Boyle - Mariotte

Numa transformação isotérmica, de uma determinada massa gasosa, a pressão p e o volume V são inversamente proporcionais.

p = K/V ou p.V = K (constante)

• Mudança do estado V1, p1 e T para V2, p2, T

p1.V1 = p2.V2

• Gráfico p x V (hipérbole equilátera)

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Exercícios básicos

Exercício 1:
Um gás perfeito sofre uma transformação isobárica e seu volume varia de V1 para V2 enquanto que sua temperatura varia de T1 para T2. Relacione as grandezas V1, V2, T1 e T2.

Exercício 2:
Um gás perfeito sofre uma transformação isocórica e sua pressão varia de p1 para p2 enquanto que sua temperatura varia de T1 para T2. Relacione as grandezas p1, p2, T1 e T2.

Exercício 3:
Um gás perfeito sofre uma transformação isotérmica e sua pressão varia de p1 para p2 enquanto que seu volume varia de V1 para V2. Relacione as grandezas p1, p2, V1 e V2.

Exercício 4:
O gráfico representa uma transformação AB sofrida por um gás perfeito.

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a) Qual é o tipo de transformação que o gás está sofrendo?
b) Determine a temperatura TB.
 
Exercício 5:
O gráfico representa uma transformação AB sofrida por um gás perfeito.

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a) Qual é o tipo de transformação que o gás está sofrendo?
b) Determine a pressão pB.

Exercício 6:
O gráfico representa uma transformação AB sofrida por um gás perfeito.

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a) Qual é o tipo de transformação que o gás está sofrendo?
b) Determine a pressão pA

Exercício 7:
Um gás perfeito sofre uma transformação cíclica ABCA, indicada no diagrama p x V.

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Classifique o tipo de transformação sofrida pelo gás nas etapas:

a) A para B
b) B para C
c) C para A

Cursos do Blog - Mecânica

Cinemática vetorial (I)

Borges e Nicolau

Vetor deslocamento
Vetor deslocamento (d) de um ponto material entre os instantes t1 e t2 é o vetor representado por um segmento orientado de origem em P1 (posição do ponto material no instante t1) e extremidade em P2 (posição do ponto material no instante t2).

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Velocidade vetorial média (vm)
É o quociente entre o vetor d e o correpondente intervalo de tempo Δt.

vm tem a mesma direção e o mesmo sentido de d.

Velocidade vetorial instantânea
A velocidade vetorial (v) de um móvel no instante t tem as características:

Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar no instante t.

Direção: da reta tangente à trajetória pelo ponto P (posição que o móvel ocupa no instante t).

Sentido: do movimento.

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Exercícios básicos

Exercício 1:
Num bairro planejado os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas, distando 100 m uma da outra. Seu Joaquim, parte de sua casa A e após percorrer algumas travessas, conforme o esquema, chega ao local de seu trabalho B. Seu Joaquim sai às 7h da manhã de A e chega em B às 7h 8min 20s. Determine:

a) A distância total percorrida por seu Joaquim e o módulo do vetor deslocamento d desde o ponto de partida (A) até o de chegada (B).
b) O módulo da velocidade escalar média vm e o módulo da velocidade vetorial média IvmI.

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Exercício 2:
Um aluno sai de sua casa para ir ao colégio e se desloca, sucessivamente, 100 m de Sul para Norte, 80 m de Oeste para Leste e 40 m de Norte para Sul, chegando à escola.

a) Represente os sucessivos deslocamentos do aluno e o deslocamento vetorial d desde o ponto de partida até o de chegada.
b) Qual o módulo de d?
c) Calcule o módulo da velocidade escalar média vm e o módulo da velocidade vetorial média IvmI do aluno, sabendo-se que ele vai de sua casa ao colégio em 2,5 minutos.

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O texto a seguir refere-se às questões 3, 4 e 5

Um ciclista descreve um movimento circular uniforme, no sentido horário. No instante t1 = 10 s o ciclista passa pelo ponto A e no instante
t2 = 30 s, pelo ponto B. O raio da trajetória é de 100 m. Adote π = 3 e √2 = 1,4.

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Exercício 3:
O módulo da variação de espaço Δs e o módulo do vetor deslocamento d entre as posições A e B são, respectivamente:
 
a) 600 m e 560 m
b) 300 m e 280 m
c) 150 m e 140 m
d) 75 m e 70 m
e) 60 m e 30 m
 
Exercício 4:
Entre as posições A e B, a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média têm módulos, respectivamente, iguais a;
 
a) 15 m/s e 14 m/s
b) 7,5 m/s e 7 m/s
c) 6m/s e 5 m/s
d) 5 m/s e 4 m/s
e) 5 m/s e 5 m/s

Exercício 5:
A velocidade vetorial do ciclista no instante em que passa pela posição C está representada na alternativa:

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Arte do Blog

Declination - Bronze - 240 x 231 x 360 centímetros

Escultura contemporânea - Tony Cragg

Borges e Nicolau

Tony Cragg, cujo nome completo é Anthony Douglas Cragg é um escultor de nacionalidade inglesa, nascido em Liverpool em 9 de abril de 1949 e radicado na cidade de Wuppertal, na Alemanha, onde vive e trabalha desde 1977.

Cragg estudou arte no Colégio de Arte e Desenho de Gloucerteshire e na Escola de Arte de Wimbledon entre 1969 e 1973. Completou os estudos no Colégio Real de Arte entre 1973 e 1977. Começou a trabalhar com materiais descartados, sucata, restos de construções e peças de eletrodomésticos jogados fora. Apesar da origem pouco nobre esses materiais deram ao artista uma grande variação temática o que acabou por se tornar uma característica de sua obra que permanece até a atualidade.

Entre as inúmeras e importantes exposições da quais participou, cabe citar a documenta de Kassel e a exposição da Basiléia em 1990 onde colocou diversas obras. Cragg representou o Reino Unido na Bienal de Veneza de 1988.

Desde 2009 Tony Cragg é diretor da Academia de Belas Artes de Dusseldorf.

Ferryman, 1997, Viena

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Especial de Sábado

Efeitos estudados em Física e seus descobridores

Efeito Coanda

Borges e Nicolau

Henri Marie Coanda (1886-1972) engenheiro e inventor romeno. O efeito Coanda foi descoberto em 1910 acidentalmente. Ao acionar o motor do avião Coanda 1910, propulsionado à reação (O 1º avião do mundo com esse tipo de propulsão), o engenheiro Henri Coanda notou que os gases que saiam do motor náo seguiam em linha reta como era esperado, mudavam de trajetória acompanhando a curvatura da fuselagem. Como tais gases saíssem em temperaturas elevadas e o avião fosse feito de materiais combustíveis, o projeto não prosperou. A observação do fenômeno por parte do engenheiro Coanda, que passou vinte anos a estudá-lo, fez com que a propriedade dos fluidos de aderir às superfícies curvas, em função de sua viscosidade, fosse denominado "Efeito Coanda". 

O Coanda-1910 na Segunda Exposição Internacional de Aeronáutica Grand Palais, Champs-Elysees, em Paris, França, em outubro de 1910.

Visualisando o fenômeno

Vamos precisar de um filete de água saindo de uma torneira, uma colher, concha, ou lata de refrigerante para verificar o "Efeito Coanda". (Faça você mesmo)

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Na foto o filete de água adere è superfície curva da concha e é desviado para a esquerda. Pelo "Princípio da Ação e Reação", enunciado por Newton, a concha recebe uma força que tende a desviá-la no sentido oposto, ou seja, para a direita.

O mesmo ocorre nas asas dos aviões. A curvatura da parte superior desvia o ar incidente para baixo. (Efeito Coanda) Surge então uma força de sentido oposto (sustentação) que empurra a asa para cima. O efeito Coanda explica satisfatoriamente o fenômeno da sustentação, atribuido ao "Efeito Bernoulli" durante muito tempo. O que faz o avião voar, em última instância, é a terceira Lei de Newton.

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Próximo Sábado: Efeito Casimir

Cursos do Blog - Respostas 04/05

Propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 1:
Considere um condutor eletrizado positivamente e em equilíbrio eletrostático.

Pode-se afirmar que:

a) O campo elétrico nos pontos A, B, C e D é nulo
b) Os potenciais elétricos nos pontos A, B, C e D são iguais.
c) A densidade de cargas elétrica é maior em A do que em D.
d) O potencial elétrico em D é maior do que em A.
e) As cargas elétricas em excesso estão em movimento ordenado.

Resposta: b

Exercício 2:
Uma esfera metálica oca, provida de um orifício, está eletrizada com carga elétrica Q.

Dispõe-se de uma pequena esfera metálica neutra.

Estabelece-se um contato entre a esfera oca e a pequena esfera.

Indique quais são as afirmações corretas.

I) Se o contato for interno a pequena esfera não se eletriza.
II) Se o contato for externo a pequena esfera não se eletriza.
III) Se o contato for interno a pequena esfera se eletriza
IV) Se o contato for externo a pequena esfera se eletriza.

Respostas: I) e IV)

Exercício 3:
Por que nos para-raios são geralmente utilizadas extremidades pontiagudas, feitas de metais condutores?

Resposta: A nuvem eletrizada induz cargas elétricas nas pontas do para-raios. Em virtude do “poder das pontas” o campo elétrico nas vizinhanças das extremidades torna-se intenso. Quando atinge determinado valor o ar em sua volta se ioniza, o que facilita a descarga elétrica.

Exercício 4:
Por que os aviões possuem pequenos fios metálicos que se prolongam das asas?

Resposta: O avião se eletriza devido ao atrito com o ar atmosférico. Os fios metálicos que se prolongam das asas são regiões pontiagudas por meio das quais as cargas elétricas são escoadas para o ambiente externo durante o vôo.

Exercício 5:
Por que no interior de um carro você fica protegido durante uma tempestade com raios?

Resposta: O carro funciona como uma gaiola de Faraday.

Cursos do Blog - Respostas 03/05

Propagação do calor (II)

Borges e Nicolau

Exercício básicos

Exercício 1:

Considere as afirmações:

I) As paredes das garrafas térmicas são espelhadas para que evitem a transmissão de calor por condução térmica.

II) Ao colocarmos a mão próxima à base de um ferro elétrico quente, sentimos a mão “queimar”. Isto acontece pois a transmissão de calor entre o ferro e a mão ocorre principalmente por irradiação térmica.

III) Os esquimós fazem suas casas, os iglus, com blocos de gelo, por que o gelo é um isolante térmico, mantendo o ambiente interno mais quente que o externo.

Tem-se:

a) Só a afirmação I) é correta;
b) Só as afirmações I) e II) são corretas;
c) Só as afirmações I) e III) são corretas;
d) Só as afirmações II) e III) são corretas;
e) Todas as afirmações são corretas.
 
Resposta: d

Exercício 2:
O calor específico da água é maior do que o calor específico da areia. Assim, durante o dia, numa região litorânea, a areia se aquece mais do que a água do mar. O ar aquecido acima da areia sobe e produz uma região de baixa pressão, aspirando o ar sobre o mar. Sopra a brisa marítima. Explique por que à noite o processo se inverte, isto é, sopra a brisa terrestre?

Resposta: À noite, areia e água esfriam, mas a areia esfria menos. O ar sobre o mar, que está mais quente, sobe e produz uma região de baixa pressão, aspirando o ar sobre a areia. Sopra a brisa terrestre.

Exercício 3:

Por que os pássaros eriçam as penas quando está frio?

Resposta: Os pássaros eriçam suas penas, quando está frio, para acumular ar entre elas. O ar é um isolante térmico diminuindo, assim,  as perdas de calor dos corpos dos pássaros para o ambiente.

Exercício 4:

Uma extremidade de uma barra de ferro está em contato com vapor de água em ebulição sob pressão normal (100 ºC). A outra extremidade está em contato com gelo em fusão sob pressão normal (0 ºC).

A barra tem comprimento L e área de seção reta A. Despreze o calor perdido pela superfície lateral. Seja Φ1 o fluxo de calor que atravessa a barra.

Corta-se a barra ao meio e os dois pedaços são soldados. Mantém-se as extremidades às temperaturas de 100 ºC e 0 ºC. Seja Φ2 o fluxo de calor que atravessa o novo sistema assim formado. Qual é a razão entre Φ1 e Φ2?

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Resposta:
Lei de Fourier:

De (1) e (2) vem:

Exercício 5:
Duas barras de mesmo comprimento, mesma área de seção reta e constituídas de metais diferentes são soldadas e suas outras extremidades mantidas às temperaturas 100 ºC e 0 ºC. Despreze a perda de calor pela superfície lateral. Os coeficientes de condutibilidade térmica dos metais que constituem as barras do sistema são K1 e K2. A temperatura da junção é de 40 ºC. Qual é a relação entre K1/K2?

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Resposta:

O mesmo fluxo de calor atravessa as duas barras. Pela Lei de Fourier, temos: