Caiu no vestibular

Hoje apresentamos as resoluções das questões discursivas da prova da Primeira Fase de 2016 da OBC (Olimpíada Brasileira de Ciências) antiga IJSO (International Junior Science Olympiad). Esta prova é um treino interessante para os alunos que vão fazer a OBC 2017, assim como para os estudantes do Ensino Médio, de um modo geral.

Borges e Nicolau

Exercício 1:

Duas pessoas, A e B, de mesma massa m_A = m_B = 50 kg, caminham em ruas perpendiculares, com velocidades constantes V_A e V_B respectivamente.

A quantidade de movimento Q total do sistema formado pelas duas pessoas tem módulo 100 kg.(m/s). Os vetores Q e V_A formam um ângulo θ tal que
sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80.
    
a) Determine o módulo V_A da velocidade V_A.
b) Determine o módulo V_B da velocidade V_B. 
c) Represente o vetor velocidade relativa V_rel(AB) da pessoa A em relação à pessoa B e calcule seu módulo.

Resolução:

Cálculo dos módulos das quantidades de movimento de A e B:
Q_A = m_A.V_A => Q_A = 50.V_A
Q_B = m_B.V_B => Q_B = 50.V_B

Abaixo representamos os vetores

a) cos θ = Q_A/Q => 0,80 = 50V_A/100 => V_A = 1,6 m/s

b) sen θ = Q_B/Q => 0,60 = 50V_B/100 => V_B = 1,2 m/s

c) A velocidade relativa V_rel(AB) da pessoa A em relação à pessoa B é dada por: V_rel(AB) = V_A - V_B isto é, somamos o vetor V_A com o oposto do vetor V_B

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

(V_rel(AB))² =  V_A² + V_B²
(V_rel(AB))² = (1,6)² (SI)+(1,2)² (SI)
(V_rel(AB))² = 2,56 (SI)+1,44 (SI)
(V_rel(AB))² = 4,0 (SI)

V_rel(AB) = 2,0 m/s

Respostas: a) 1,6m/s;   b) 1,2 m/s;    c) 2,0 m/s

Exercício 2:


Uma mistura de gelo e água a 0°C e sob pressão normal é colocada num recipiente de capacidade térmica desprezível e termicamente isolado. O sistema foi aquecido até a total fusão do gelo. O volume do conteúdo diminuiu de 1,0 cm³, a 0°C.

a) Explique a diminuição de volume da mistura.
b) Qual é a massa de gelo que sofre fusão?
c) Qual é a quantidade de calor que foi absorvida pela mistura gelo e água?

Dados:

Calor latente específico  de fusão do gelo: 80 cal/g
Densidade do gelo a 0°C: 0,90 g/cm³
Densidade da água  a 0°C: 1,0 g/cm³


Resolução:

a) O volume da mistura diminui porque o gelo a 0°C, ao receber calor, derrete e sua fusão ocorre com contração de volume

b) Sejam M a massa de gelo, V_g o volume de gelo, V_a o volume de água, correspondente à fusão do gelo, d_g a densidade do gelo e d_a a densidade da água. Temos:
V_g - V_a = 1,0 cm³
(M/d_g)-(M/d_a) = 1,0 cm³
(M/0,90g/cm³) - (M/1,0g/cm³) = 1,0 cm³
M = 9,0 g

c) A quantidade de calor recebida pela mistura equivale à quantidade de calor necessária para a fusão de M= 9,0g de gelo:
Q = M.L => Q = 9,0.80 => Q = 7,2.10² cal

Respostas:
a) a fusão do gelo ocorre com contração de volume; b) 9,0 g; c) 7,2.10² cal

Exercício 3:

Uma pessoa encontra-se a 50 cm de um espelho plano vertical, de modo a ver a imagem de um poste vertical AB de 2,0 m de altura e situado a 3,5 m do espelho. A pessoa tem 1,82 m de altura e a distância dos olhos O ao solo é de 1,76 m.

a) qual é a dimensão mínima vertical que o espelho deve ter para que a pessoa possa ver inteiramente a imagem do poste?
b) Nas condições do item a) determine a distância que a borda inferior do espelho deve ser mantida do solo.
c) Translada-se o espelho de 30 cm, afastando da pessoa, mantendo-o vertical. A pessoa permanece na mesma posição. Qual é a distância que separa a antiga da nova imagem do poste?

Resolução:

a) Abaixo desenhamos a imagem do poste (A’B’) e os raios de luz que permitem ao observador vê-la. EF é dimensão mínima vertical que o espelho deve ter, de modo que a pessoa possa ver a imagem do poste inteira.

Os triângulos OEF e O A’B’ são semelhantes:
EF/A’B’ = PG/PB’ => EF/2,0 = 0,50/4,0 => EF = 0,25 m.

b) Os triângulos FGB’ e OPB’ são semelhantes:
FG/OP = GB’/PB’ => FG/1,76 = 3,5/4,0 => FG =  1,54 m.

c) Do esquema abaixo, temos:

380 cm + 380 cm = 350 cm + 350 cm +D

D = 60 cm

Este item poderia ser resolvido diretamente lembrando que quando um espelho translada de uma distância d a imagem de um objeto fixo translada no mesmo sentido do espelho de uma distância 2D.

Exercício 4:

Frentes de onda passam de um meio 1 para outro meio 2, ambos homogêneos, conforme indica a figura. Sabe-se que α = 53° e β = 37°.

Dados: sen53° = 0,80; sen37° = 0,60 
A velocidade de propagação da onda no meio 2 tem módulo 60 m/s e a distância entre duas frentes de ondas sucessivas no meio 1 é de 4,0 cm

a) Represente o raio incidente R que passa pelo ponto P, o correspondente raio refratado R’, a reta normal N pelo ponto de incidência na superfície de separação S e os valores dos ângulos de incidência e de refração.
b) Qual é o módulo da  velocidade de propagação da onda no meio 1 e a distância entre duas frentes de ondas sucessivas no meio 2?
c) Determine a frequência da onda nos meios 1 e 2.

Resolução:

a) Sendo o raio de onda perpendicular à frente de onda, temos:

i é o ângulo complementar de 90° - α. Logo,  i = α = 53°
r é o ângulo complementar de 90° - β. Logo, r = β = 37°

b) Pela Lei de Snell- Descartes:

sen53°/sen37° = v₁/v₂ => 0,80/0,60 = v₁/60 => v₁ = 80 m/s
De: v₁ = λ₁.f₁ e v₂ = λ₂.f₂, e sendo f₁ = f₂ (a frequência é a mesma nos dois meios), vem:
v₁/v₂ = λ₁/λ₂ => 80/60 = 4,0/λ₂ => λ₂ = 3,0 cm

c) Sendo f₁ = f₂ = f vem:
v₁ = λ₁.f => 80 = 4,0.10^-2.f => f = 2,0.10³ Hz

Respostas:
a)  esquema acima e i = 53° e r = 37°;
b) 80 m/s  e  3,0cm                              
c) 2,0.10³ Hz