Cursos do Blog - Mecânica

37ª aula
Lei de Newton da Gravitação Universal

Borges e Nicolau

Isaac Newton, com base nas Leis de Kepler, descobriu que a força que mantém um planeta em órbita em torno do Sol tem intensidade diretamente proporcional à massa do Sol e à massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Essas forças de interação à distância são denominadas forças gravitacionais. Vamos, a seguir, enunciar a Lei da Gravitação Universal para dois pontos materiais:
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Dois pontos materiais de massas m e M e situados a uma distância d atraem-se com forças que têm a direção da reta que os une e cujas intensidades são diretamente proporcionais ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa.

G = 6,67 x 10^-11 N.m²/(kg)² é a constante de gravitação universal.

No caso de duas esferas homogêneas a distância a ser considerada, para a aplicação da Lei da Gravitação Universal, é entre os centros das esferas.

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Aceleração da gravidade
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Vamos considerar um ponto material de massa m situado a uma distância d do centro da Terra, suposta esférica, homogênea, estacionária e de massa M.

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A intensidade da força de atração  gravitacional F entre M e m é, nestas condições,  o próprio peso P do ponto material. Assim, podemos escrever:

Temos, assim, o módulo da aceleração da gravidade num ponto situado a uma distância d do centro da Terra. Num ponto da superfície, sendo R o raio da Terra, o módulo da aceleração da gravidade é dado por:

As duas expressões anteriores são válidas para qualquer planeta. Neste caso M e a massa do planeta e R seu raio.

Velocidade de translação de um satélite em órbita circular

Um satélite de massa m descreve uma órbita circular de raio r, em torno de um planeta de massa M

Para determinar a velocidade de translação do satélite, basta observar que a força de atração gravitacional, que o planeta exerce no satélite, é a resultante centrípeta:

Observe que a velocidade de translação do satélite depende da massa M do planeta, do raio r da órbita e não depende da massa m do satélite. A força de atração gravitacional, que o planeta exerce no satélite e nos corpos situados no seu interior, está sendo usada como resultante centrípeta que tem, como única função, manter os corpos em órbita. Por isso, os corpos no interior dos satélites flutuam: é a chamada imponderabilidade.

Recorde a lei de Newton da Gravitação Universal pela animação abaixo:

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Exercícios básicos

Exercício 1:
Sejam M = 6,0.10²⁴ kg e R = 6,4.10⁶ m a massa e o raio da Terra. Uma pequena esfera de massa 10 kg está sobre a superfície da Terra. Qual é a intensidade da força de atração gravitacional que a Terra exerce na esfera? É dada a constante de gravitação universal: G = 6,67 x 10^-11 N.m²/(kg)²

Resolução: clique aqui
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Exercício 2:
A força de atração gravitacional, entre duas pequenas esferas de massas m e M, situadas a uma distância d, tem intensidade F. Reduzindo-se à metade a distância entre as esferas, a intensidade da força de atração gravitacional passa a ser F’. Determine a razão F’/F.
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Exercício 3:
Seja g = 10 m/s² a intensidade da aceleração da gravidade na superfície da Terra, cujo raio é R. Num ponto situado à distância 2R do centro da Terra a aceleração da gravidade passa a ter intensidade:

a) 7,5 m/s²; b) 6,0 m/s²; c) 5,0 m/s²; d) 2,5 m/s²; e) 1,25 m/s²
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Exercício 4:
Um corpo situado na superfície terrestre pesa 80 N. Qual seria o peso desse corpo se fosse colocado na superfície de Urano? Sabe-se que a massa de Urano é 14,6 vezes a massa da Terra e que seu raio é 4 vezes o raio da Terra.
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Exercício 5:
Um planeta tem massa igual ao dobro da massa da Terra e raio igual à metade do  raio da Terra. Seja g a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Determine, em função de g, a aceleração da gravidade g’ na superfície do planeta.
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Exercício 6:
Dois satélites, A e B, estão em_Bórbita circular em torno da Terra. O raio da trajetória descrita por A é r_A e o de B, é r_B = 2.r_A. Sejam v_A e v_B as velocidades de translação dos satélites e T_A e T_B seus períodos de translação. Determine as relações:
v_A/v_B e T_A/T_B?
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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1:
(CESGRANRIO)
A força da atração gravitacional entre dois corpos celestes é proporcional ao inverso do quadrado da distância entre os dois corpos. Assim é que, quando a distância entre um cometa e o Sol diminui da metade, a força de atração exercida pelo Sol sobre o cometa: 

a) diminui da metade; 
b) é multiplicada por 2; 
c) é dividida por 4; 
d) é multiplicada por 4; 
e) permanece constante.

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Revisão/Ex 2:
(UEL-PR)
O planeta Vênus descreve uma trajetória praticamente circular de raio 1,0.10¹¹ m ao redor do Sol. Sendo a massa de Vênus igual a 5,0.10²⁴ kg e seu período de translação 224,7 dias (2,0.10⁷ segundos), pode-se afirmar que a força exercida pelo Sol sobre Vênus é, em newtons, aproximadamente:

a) 5,0.10²².
b) 5,0.10²⁰.
c) 2,5.10¹⁵.
d) 5,0.10¹³.
e) 2,5.10¹¹.

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Revisão/Ex 3:
(Uesb-BA)
Um satélite, de massa m, realiza um movimento uniforme em órbita circular de raio R, em torno da Terra, considerada uma esfera de massa M. Sendo G a constante de gravitação universal, a energia cinética do satélite, nesse movimento, é igual a:

01) GM/R.
02) Gm/R.
03) Gm/2MR.
04) GM/2mR.
05) GmM/2R.

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Revisão/Ex 4:
(PUC-Campinas-SP)
Considere um planeta que tenha raio e massa duas vezes maiores que os da Terra. Sendo a aceleração da gravidade na superfície da Terra igual a 10 m/s², na superfície daquele planeta ela vale, em m/s².

a) 2,5.
b) 5,0.
c) 10.
d) 15.
e) 20.

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Revisão/Ex 5:
(UFES)
Suponha a Terra com a mesma massa porém com o dobro do raio. O nosso peso seria:

a) a metade.
b) o dobro.
c) o mesmo. 
d) o quádruplo.
e) reduzido à sua quarta parte.

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Desafio:

Três pequenas esferas, A, B e C, estão alinhadas conforme a figura. Suas massas são respectivamente 3m, 2m e m.

A força de atração gravitacional que A exerce em C tem intensidade F. A força de atração resultante da ação de A e B sobre C, tem intensidade:

a) F
b) 5F/3
c) 7F/3
d) 8F/3
e) 11F/3

A resolução será publicada na próxima segunda-feira.

Resolução do desafio anterior:

Admita a órbita da Lua, em torno da Terra, circular, de raio R (figura A) e com período de translação de 27,35 dias.

Imagine que a Lua parasse em sua órbita e caísse na Terra depois de um intervalo de tempo Δt. Para calcular este intervalo de tempo use a seguinte estratégia: considere que a velocidade da Lua reduzisse a um valor próximo de zero. Nestas condições, a Lua passaria a descrever uma órbita elíptica de eixo maior R e de excentricidade próxima de 1, terminando por colidir catastroficamente com a Terra (figura B). Adote √2 = 1,41

Nestas condições, o valor de Δt é aproximadamente igual a:

a) 19,28 dias
b) 9,64 dias
c) 4,82 dias
d) 2,41 dias
e) 1,20 dias

Resolução:

De acordo com a terceira lei de Kepler, podemos escrever:

Situação da figura A:

T² = K.R³ (1)

Situação hipotética da figura B:

(T’)² = K.(R/2)³ => (T’)² = K.R³/8 (2)

(2)/(1): 

(T’/T)² = 1/8 => T’/T = 1/2√2 => T’= T/2√2 = 27,35dias/2√2 
                               
T’ = (27,35/4).√2 dias

T’ ≅ 9,64 dias

O intervalo de tempo Δt procurado é a metade do valor T’ encontrado:

Δt = T’/2 ≅ 4,82 dias => Δt ≅ 4 dias e 20 h

Resposta: c

Arte do Blog

Venice by Gondola, 2010

William R. Beebe

William R. Beebe fala de sí próprio: "Eu me vejo como uma espécie de alma velha com um coração romântico. Os temas que escolho para pintar geralmente têm algum tipo de vocação nostálgica e é isso que me obriga a pintá-los. Essa conexão essencial com o assunto é o que me inspira, se é selvagem, uma paisagem, um navio, uma natureza morta, um retrato... Adoro o desafio de captar a beleza que me chamou primeiro a atenção".

Columns in Capri, 2010

A interpretação da cena, o que o artista transmite através de pinceladas, encontrar uma perspectiva única e o uso de uma paleta criativa é o que separa o normal de uma verdadeira obra de arte.

Countryside Chateau, 2009

Minha visualização inicial determina o nível de detalhe e estilo. Cada pintura passa por um processo evolutivo. Eu caminho pelas trilhas da espontaneidade e gosto de ser surpreendido na caminhada.

Chatillon-sur-Seine, France, 2009

Através dos anos tenho admirado o trabalho marítimo de John Stobart e Thomas Hoyne. Recentemente fui influenciado pelos impressionistas americanos e europeus. Estudar o trabalho de Monet, Whistler, Frank Benson, Sargent e Chase tem me desafiado a olhar para cada novo projeto com uma mente mais aberta. Conseguir um trabalho pictórico que me satisfaça é a maior prioridade".

Venetian Morning, 2010

Especial de Sábado

Efeitos estudados em Física e seus descobridores

Efeito Compton

Borges e Nicolau

Arthur Holly Compton (1892–1962), físico estadunidense, descobriu a mudança do comprimento de onda dos raios X quando eram espalhados por um alvo de grafite. Este fenômeno é chamado Efeito Compton. O fato observado contrariava a teoria eletromagnética clássica, pois um elétron do alvo de grafite, no qual incidiam raios X de frequência f e comprimento de onda λ, oscilaria com a mesma freqüência f da radiação incidente, passando a irradiar ondas de mesma frequência f e mesmo comprimento de onda λ, de modo análogo aos elétrons que oscilam numa antena de transmissão de ondas de rádio.

Em seu experimento, ilustrado na figura, Compton fez incidir um feixe raios X sobre um alvo de grafite e este feixe espalhou-se em várias direções. Com um espectrógrafo de raios X mediu o comprimento de onda dos raios X espalhados numa direção definida pelo ângulo θ. Compton observou que prevaleciam dois comprimentos de onda: um igual ao comprimento de onda incidente, λ, e outro, λ' > λ.

(Esquema adaptado de http://pt.scribd.com/doc/24342599/Efeito-Compton)

Para explicar o fato de que λ' é maior do que λ, Compton considerou o caráter corpuscular das ondas eletromagnéticas, destacando que o espalhamento seria o resultado da colisão entre fótons dos raios X e os elétrons livres do alvo de grafite.

(Ilustração do livro Física Moderna de Walter R. Fuchs, Editora Polígono, São Paulo)

Sendo E = h.f o quantum de energia do fóton incidente e E’ = h.f’, do fóton espalhado e considerando que parte da energia do fóton incidente é transferida ao elétron com quem colide, resulta E’ < E e portanto f’ < f. De c = λ.f e c = λ'.f’, concluímos que λ' > λ. A diferença Δλ = λ' - λ, chamada desvio de Compton, aumenta com o aumento do ângulo θ.

Para os elétrons do alvo mais rigidamente presos à estrutura, o desvio de Compton não poderia ser detectado, por ser extremamente pequeno. Isto explica por que um dos comprimentos de onda dos raios X espalhados é igual ao comprimento de onda incidente.

Clique aqui para ver uma animação sobre o efeito Compton

Próximo Sábado: Efeito Doppler

Fuvest na berlinda

Hoje selecionamos duas questões da FUVEST para você. 

Borges e Nicolau

Questão 1:

(FUVEST)
No circuito da figura abaixo, a diferença de potencial, em módulo, entre os pontos A e B é de

a) 5 V.      b) 4 V.      c) 3 V.      d) 1 V.      e) 0 V.

Resolução:

U_MT = R_MT.i => 5V = (4+1)kΩ.i => i = 1V/kΩ

U_MB = R_MB.i => U_MB = 4kΩ.1V/kΩ = 4V

Como não há corrente elétrica passando pelo trecho MA, concluímos que M e A têm o mesmo potencial elétrico. Assim, U_MB = U_AB = 4V

Resposta: b

Questão 2:

(FUVEST)

Uma fibra ótica é um guia de luz, flexível e transparente, cilíndrico, feito de sílica ou polímero, de diâmetro não muito maior que o de um fio de cabelo, usado para transmitir sinais luminosos a grandes distâncias, com baixas perdas de intensidade. A fibra ótica é constituída de um núcleo, por onde a luz se propaga e de um revestimento, como esquematizado na figura acima (corte longitudinal). Sendo o índice de refração do núcleo 1,60 e o do revestimento, 1,45, o menor valor do ângulo de incidência θ do feixe luminoso, para que toda a luz incidente permaneça no núcleo, é, aproximadamente,

a) 45°.      b) 50°.      c) 55°.      d) 60°.      e) 65°.

Resolução:

Para que ocorra reflexão total o ângulo θ deve ser maior do que o ângulo limite L do dioptro núcleo – revestimento:

θ > L => sen θ > sen L => senθ > 1,45/1,60 =>sen θ > 0,91

Da tabela, concluímos que: θ > 65°.

Assim, podemos considerar o menor valor do ângulo de incidência θ como sendo, aproximadamente, 65°

Resposta: e