37ª aula
Lei de Newton da Gravitação Universal
Borges e Nicolau
Isaac Newton, com base nas Leis de Kepler, descobriu que a força que mantém um planeta em órbita em torno do Sol tem intensidade diretamente proporcional à massa do Sol e à massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Essas forças de interação à distância são denominadas forças gravitacionais. Vamos, a seguir, enunciar a Lei da Gravitação Universal para dois pontos materiais:
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Dois pontos materiais de massas m e M e situados a uma distância d atraem-se com forças que têm a direção da reta que os une e cujas intensidades são diretamente proporcionais ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa.
G = 6,67 x 10-11 N.m2/(kg)2 é a constante de gravitação universal.
No caso de duas esferas homogêneas a distância a ser considerada, para a aplicação da Lei da Gravitação Universal, é entre os centros das esferas.
Aceleração da gravidade
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Vamos considerar um ponto material de massa m situado a uma distância d do centro da Terra, suposta esférica, homogênea, estacionária e de massa M.
A intensidade da força de atração gravitacional F entre M e m é, nestas condições, o próprio peso P do ponto material. Assim, podemos escrever:
Velocidade de translação de um satélite em órbita circular
Um satélite de massa m descreve uma órbita circular de raio r, em torno de um planeta de massa M
Para determinar a velocidade de translação do satélite, basta observar que a força de atração gravitacional, que o planeta exerce no satélite, é a resultante centrípeta:
Observe que a velocidade de translação do satélite depende da massa M do planeta, do raio r da órbita e não depende da massa m do satélite. A força de atração gravitacional, que o planeta exerce no satélite e nos corpos situados no seu interior, está sendo usada como resultante centrípeta que tem, como única função, manter os corpos em órbita. Por isso, os corpos no interior dos satélites flutuam: é a chamada imponderabilidade.
Recorde a lei de Newton da Gravitação Universal pela animação abaixo:
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Exercícios básicos
Exercício 1:
Sejam M = 6,0.1024 kg e R = 6,4.106 m a massa e o raio da Terra. Uma pequena esfera de massa 10 kg está sobre a superfície da Terra. Qual é a intensidade da força de atração gravitacional que a Terra exerce na esfera? É dada a constante de gravitação universal: G = 6,67 x 10-11 N.m2/(kg)2
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Exercício 2:
A força de atração gravitacional, entre duas pequenas esferas de massas m e M, situadas a uma distância d, tem intensidade F. Reduzindo-se à metade a distância entre as esferas, a intensidade da força de atração gravitacional passa a ser F’. Determine a razão F’/F.
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Exercício 3:
Seja g = 10 m/s2 a intensidade da aceleração da gravidade na superfície da Terra, cujo raio é R. Num ponto situado à distância 2R do centro da Terra a aceleração da gravidade passa a ter intensidade:
a) 7,5 m/s2; b) 6,0 m/s2; c) 5,0 m/s2; d) 2,5 m/s2; e) 1,25 m/s2
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Exercício 4:
Um corpo situado na superfície terrestre pesa 80 N. Qual seria o peso desse corpo se fosse colocado na superfície de Urano? Sabe-se que a massa de Urano é 14,6 vezes a massa da Terra e que seu raio é 4 vezes o raio da Terra.
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Exercício 5:
Um planeta tem massa igual ao dobro da massa da Terra e raio igual à metade do raio da Terra. Seja g a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Determine, em função de g, a aceleração da gravidade g’ na superfície do planeta.
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Exercício 6:
Dois satélites, A e B, estão emBórbita circular em torno da Terra. O raio da trajetória descrita por A é rA e o de B, é rB = 2.rA. Sejam vA e vB as velocidades de translação dos satélites e TA e TB seus períodos de translação. Determine as relações:
vA/vB e TA/TB?
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Exercícios de Revisão
Revisão/Ex 1:
(CESGRANRIO)
A força da atração gravitacional entre dois corpos celestes é proporcional ao inverso do quadrado da distância entre os dois corpos. Assim é que, quando a distância entre um cometa e o Sol diminui da metade, a força de atração exercida pelo Sol sobre o cometa:
a) diminui da metade;
b) é multiplicada por 2;
c) é dividida por 4;
d) é multiplicada por 4;
e) permanece constante.
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Revisão/Ex 2:
(UEL-PR)
O planeta Vênus descreve uma trajetória praticamente circular de raio 1,0.1011 m ao redor do Sol. Sendo a massa de Vênus igual a 5,0.1024 kg e seu período de translação 224,7 dias (2,0.107 segundos), pode-se afirmar que a força exercida pelo Sol sobre Vênus é, em newtons, aproximadamente:
a) 5,0.1022.
b) 5,0.1020.
c) 2,5.1015.
d) 5,0.1013.
e) 2,5.1011.
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Revisão/Ex 3:
(Uesb-BA)
Um satélite, de massa m, realiza um movimento uniforme em órbita circular de raio R, em torno da Terra, considerada uma esfera de massa M. Sendo G a constante de gravitação universal, a energia cinética do satélite, nesse movimento, é igual a:
01) GM/R.
02) Gm/R.
03) Gm/2MR.
04) GM/2mR.
05) GmM/2R.
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Revisão/Ex 4:
(PUC-Campinas-SP)
Considere um planeta que tenha raio e massa duas vezes maiores que os da Terra. Sendo a aceleração da gravidade na superfície da Terra igual a 10 m/s2, na superfície daquele planeta ela vale, em m/s2.
a) 2,5.
b) 5,0.
c) 10.
d) 15.
e) 20.
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Revisão/Ex 5:
(UFES)
Suponha a Terra com a mesma massa porém com o dobro do raio. O nosso peso seria:
a) a metade.
b) o dobro.
c) o mesmo.
d) o quádruplo.
e) reduzido à sua quarta parte.
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Desafio:
Três pequenas esferas, A, B e C, estão alinhadas conforme a figura. Suas massas são respectivamente 3m, 2m e m.
A força de atração gravitacional que A exerce em C tem intensidade F. A força de atração resultante da ação de A e B sobre C, tem intensidade:
a) F
b) 5F/3
c) 7F/3
d) 8F/3
e) 11F/3
A resolução será publicada na próxima segunda-feira.
Resolução do desafio anterior:
Admita a órbita da Lua, em torno da Terra, circular, de raio R (figura A) e com período de translação de 27,35 dias.
Imagine que a Lua parasse em sua órbita e caísse na Terra depois de um intervalo de tempo Δt. Para calcular este intervalo de tempo use a seguinte estratégia: considere que a velocidade da Lua reduzisse a um valor próximo de zero. Nestas condições, a Lua passaria a descrever uma órbita elíptica de eixo maior R e de excentricidade próxima de 1, terminando por colidir catastroficamente com a Terra (figura B). Adote √2 = 1,41
Nestas condições, o valor de Δt é aproximadamente igual a:
a) 19,28 dias
b) 9,64 dias
c) 4,82 dias
d) 2,41 dias
e) 1,20 dias
De acordo com a terceira lei de Kepler, podemos escrever:
Situação da figura A:
T2 = K.R3 (1)
Situação hipotética da figura B:
(T’)2 = K.(R/2)3 => (T’)2 = K.R3/8 (2)
(2)/(1):
(T’/T)2 = 1/8 => T’/T = 1/2√2 => T’= T/2√2 = 27,35dias/2√2
T’ = (27,35/4).√2 dias
T’ ≅ 9,64 dias
O intervalo de tempo Δt procurado é a metade do valor T’ encontrado:
Δt = T’/2 ≅ 4,82 dias => Δt ≅ 4 dias e 20 h
Resposta: c
