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quinta-feira, 10 de janeiro de 2013

Caiu no vestibular

Recordando Análise Dimensional

Borges e Nicolau

As grandezas fundamentais da Mecânica são massa, comprimento e tempo, representadas por M, L e T. Qualquer outra grandeza da Mecânica pode ser expressa em função de M, L e T elevados a expoentes α, β e γ. Assim podemos escrever a equação dimensional de uma determinada grandeza G, indicada por [G]:

[G] = Mα.Lβ.Tγ

Os expoentes α, β e γ são as dimensões da grandeza  em relação a M, L e T, respectivamente.

Vamos escrever as equações dimensionais de velocidade e aceleração:

v = Δs/Δt => [v] = [Δs]/[Δt] = L/T => [v] = M0.L.T-1

α = Δv/Δt => [α] = [Δv]/[Δt] = M0.L.T-1/T => [α] = M0.L.T-2

Previsão de fórmulas

Vamos supor que o período t de oscilação de um pêndulo simples dependa da massa pendular m, do comprimento do pêndulo l e da aceleração da gravidade g.

Podemos escrever:

t = K. mα.lβ.gγ

Sendo K uma constante adimensional, vamos obter α, β e γ.

Dados: [t] = M0.L0.T; [m] = M.L0.T0; [l] = M0.L.T0; [g] = M0.L.T-2

Substituindo as expressões de [t], [m], [l] e [g] na equação  
[t] = [m]α . [l]β . [g]γ, temos:

M0.L0.T = (M.L0.T0)α . (M0.L.T0)β . (M0.L.T-2)γ => M0.L0.T = Mα.Lβ.T-2γ 

Identificando os expoentes temos: α = 0; β + γ = 0 e -2γ = 1

Logo: α = 0, γ = -1/2 e β = +1/2

Assim temos: t = K. mα.lβ.gγ =>  t = K. m0.l1/2.g-1/2) => t = K.(l/g)

Caiu no vestibular

Velocidade da onda sonora

(IME-RJ)
Suponha que o módulo da velocidade de propagação V de uma onda sonora dependa somente da pressão p e da massa específica do meio µ, de acordo com a expressão:
V = p
x.μy
Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale 1.


Resolução: 

v = px.μy => [v] = [p]x.[μ]y => M0.L.T-1 = (M.L-1.T-2)x.(M.T0.L-3.)y => 
M0.L.T-1 = Mx+y.L-x-3y.T-2x  

Então temos:

x + y = 0
-x - 3y = 1
-2x = -1

x = 1/2 e 1/2 + y = 0 => y = -1/2

Portanto: v = p1/2.μ-1/2 => v = (p/µ)

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